Coercivité et minimum global

La stratégie. C'est le raisonnement que le programme désigne : « prouver l'existence d'un extremum à l'aide d'une restriction à un compact ». ${\mathbb{R}}^n$ n'étant pas compact, le théorème des bornes atteintes ne s'y applique pas : il faut fabriquer un compact où chercher, et la coercivité garantit qu'aucun minimum ne se cache au loin.

a) Avec les quantificateurs. $$\forall M\in \mathbb{R},\exists R>0,\forall x\in {\mathbb{R}}^n,\Vert x\Vert >R⟹f(x)>M.$$ C'est une hypothèse globale : elle ne dit rien près de l'origine, mais elle interdit à $f$ de rester petite à l'infini dans une direction quelconque.

b) L'existence du minimum.

Étape 1 — fixer le seuil. Posons $M=f(0)$. La coercivité fournit $R>0$ tel que $\Vert x\Vert >R⟹f(x)>f(0)$. Quitte à agrandir $R$, supposons $R\ge 1$, de sorte que $0\in \overline{B}(0,R)$.

Étape 2 — le compact. La boule $\overline{B}(0,R)$ est fermée — image réciproque de $[0,R]$ par la norme, continue car $1$-lipschitzienne — et bornée, dans ${\mathbb{R}}^n$ de dimension finie : elle est donc compacte, et non vide.

Étape 3 — le minimum sur le compact. $f$ est continue sur ce compact non vide : elle y atteint sa borne inférieure en un $x^{\ast }\in \overline{B}(0,R)$, et comme $0$ est dans la boule, $f(x^{\ast })\le f(0)=M$.

Étape 4 — il est global. Soit $x\in {\mathbb{R}}^n$. Si $\Vert x\Vert \le R$, alors $f(x^{\ast })\le f(x)$ par l'étape 3. Si $\Vert x\Vert >R$, alors $f(x)>M\ge f(x^{\ast })$ par les étapes 1 et 3. Dans les deux cas $f(x^{\ast })\le f(x)$ : $x^{\ast }$ réalise le minimum global de $f$ sur ${\mathbb{R}}^n$.

c) L'application.

Coercivité. L'inégalité $2|xy|\le x^2+y^2$, qui n'est autre que $(|x|-|y|{)}^2\ge 0$, donne $-4xy\ge -2(x^2+y^2)$, donc $f(x,y)\ge x^4+y^4-2(x^2+y^2)$. Posons $r^2=x^2+y^2$ ; par $a^2+b^2\ge \frac{(a+b{)}^2}{2}$ appliquée à $a=x^2$, $b=y^2$, on a $x^4+y^4\ge \frac{r^4}{2}$, d'où $$f(x,y)\ge \frac{r^4}{2}-2r^2=r^2\left(\frac{r^2}{2}-2\right)\underset{r\to +\infty }{\to }+\infty .$$ Comme $\Vert (x,y){\Vert }_2=r$, la fonction est coercive ; étant polynomiale, elle est continue : par le b), elle admet un minimum global.

Localisation. Ce minimum est atteint en un point intérieur — tout point de ${\mathbb{R}}^2$ l'est. Or en un point intérieur où une fonction de deux variables de classe ${\mathcal{C}}^1$ admet un extremum local, les deux dérivées partielles s'annulent (condition nécessaire du premier ordre, de première année). Ici $$\frac{\partial f}{\partial x}=4x^3-4y,\frac{\partial f}{\partial y}=4y^3-4x.$$ Le système $\{y=x^3,x=y^3\}$ donne $x=x^9$, donc $x(x^8-1)=0$ et $x\in \{0,1,-1\}$, d'où $y=x^3$. Les trois points critiques sont $(0,0)$, $(1,1)$ et $(-1,-1)$, de valeurs $f(0,0)=0$ et $f(\pm 1,\pm 1)=1+1-4=-2$.

L'existence étant acquise et le minimiseur étant l'un des trois candidats, le plus petit l'emporte : $$\underset{{\mathbb{R}}^2}{\min }f=-2,\text{atteint exactement en }(1,1)\text{ et }(-1,-1).$$

Contrôle numérique. $f(1,1;1,1)=2\times 1,4641-4\times 1,21=-1,9118>-2$ et $f(0,9;0,9)=2\times 0,6561-4\times 0,81=-1,9278>-2$ : la valeur $-2$ est bien le plus bas des environs.

La leçon de méthode. L'existence vient de la topologie, la localisation vient du calcul. Sans le b), trois points critiques et aucune certitude : $(0,0)$ est un point-selle, et $x\mapsto x^3$ rappelle qu'un point critique n'est pas un extremum.

d) La coercivité n'est pas nécessaire — mais sans elle le minimum peut manquer. Toute fonction constante admet un minimum global sans être coercive. En revanche $f(x)=e^{-x}$ est continue sur $\mathbb{R}$, strictement positive, d'infimum $0$ puisque $e^{-x}\to 0$ quand $x\to +\infty$, et ce $0$ n'est atteint nulle part : pas de minimum global, l'infimum s'échappant à l'infini. Noter que la coercivité donne plus que l'existence : l'ensemble des minimiseurs est borné — ce qui est faux pour $f(x,y)=(xy-1{)}^2$, dont le minimum $0$ est atteint sur toute une hyperbole.

Ce que l'exercice installe. Le couple gagnant de l'optimisation : compacité pour l'existence, calcul différentiel pour la localisation, jamais l'inverse. La technique — se ramener à une boule fermée hors de laquelle la fonction est trop grande — est exactement celle qu'emploiera la question 2 du problème final.