Densité et unicité

$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ (première année) : deux applications continues coïncidant sur une partie dense sont égales — $f=g$.

Application : l'équation fonctionnelle donne classiquement $f(r)=rf(1)$ pour tout $r\in \mathbb{Q}$ (additivité itérée, passage aux inverses et aux opposés). Les deux fonctions continues $f$ et $x\mapsto xf(1)$ coïncident sur $\mathbb{Q}$ dense : elles sont égales — $f$ est linéaire. (Sans la continuité, le résultat tombe en défaut : la densité ne se suffit pas, c'est le couple densité $+$ continuité qui conclut.)