Deux normes non équivalentes sur $\mathbb{R}[X]$

La stratégie. Pour infirmer une équivalence de normes, il faut exhiber une suite témoin rendant le rapport non borné. Toute la difficulté est de fabriquer des polynômes petits sur $[0,1]$ mais à gros coefficients : ce sont les signes alternés qui produisent cet effet, et l'évaluation en $-1$ qui mesure d'un coup la taille des coefficients.

a) L'inégalité facile. Pour $t\in [0,1]$, on a $0\le t^k\le 1$, donc $$|P(t)|=\left|\sum _k{a}_k{t}^k\right|\le \sum _k|a_k|t^k\le \sum _k|a_k|=N(P).$$ Le majorant ne dépend pas de $t$ : en passant au supremum, $\Vert P{\Vert }_{\infty }\le N(P)$. Une seule des deux inégalités est acquise, avec la constante $1$. L'équivalence exigerait de plus une constante $C>0$ telle que $N(P)\le C\Vert P{\Vert }_{\infty }$ pour tout $P$ : c'est elle qu'on va détruire.

b) La suite témoin. Posons $P_n=(1-2X{)}^n$.

Étape 1 — la norme uniforme vaut $1$ à tout rang. Pour $t\in [0,1]$, la quantité $1-2t$ décrit $[-1,1]$, donc $|1-2t|\le 1$ et $|P_n(t)|=|1-2t{|}^n\le 1$. La valeur $1$ est atteinte en $t=0$, où $P_n(0)=1$. Donc $\Vert P_n{\Vert }_{\infty }=1$ pour tout $n$.

Étape 2 — la somme des modules des coefficients vaut $3^n$. La formule du binôme donne $P_n={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(-2{)}^k{X}^k$, où $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ se lit « k parmi n ». Les modules des coefficients sont les $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k$, donc, par la formule du binôme relue à l'envers, $$N(P_n)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k=(1+2{)}^n=3^n.$$ Lecture équivalente : évaluer en $t=-1$ rend tous les termes positifs, puisque $(-2{)}^k(-1{)}^k=2^k$, donc $N(P_n)=|P_n(-1)|=3^n$.

Étape 3 — conclusion. S'il existait $C>0$ tel que $N(P)\le C\Vert P{\Vert }_{\infty }$ pour tout $P$, on aurait pour tout $n$ $$3^n=N(P_n)\le C\Vert P_n{\Vert }_{\infty }=C,$$ ce qui est absurde puisque $3^n\to +\infty$. Les deux normes ne sont pas équivalentes.

c) La même chose, vue par les suites. Posons $Q_n=\frac{P_n}{3^n}$. Par homogénéité des deux normes, $$N(Q_n)=\frac{3^n}{3^n}=1\text{pour tout }n,\Vert Q_n{\Vert }_{\infty }=\frac{1}{3^n}⟶0.$$ La suite $(Q_n)$ converge vers $0$ pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ et pas pour $N$, dont elle garde la valeur $1$. Or deux normes équivalentes ont exactement les mêmes suites convergentes, de mêmes limites : c'est la seconde rédaction complète de la non-équivalence, celle que le programme désigne.

d) Un phénomène de dimension infinie. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (résultat admis) : sur chaque ${\mathbb{R}}_n[X]$, il existe donc $C_n$ telle que $N(P)\le C_n\Vert P{\Vert }_{\infty }$ en degré au plus $n$. Ce qui échoue n'est pas l'existence de $C_n$ mais son uniformité : appliquée à $P_n$, l'inégalité donne $3^n\le C_n$, et la réunion croissante des ${\mathbb{R}}_n[X]$ n'hérite d'aucune constante commune.

Contrôle numérique. $n=1$ : $P_1=1-2X$, $N(P_1)=3$, $\Vert P_1{\Vert }_{\infty }=1$. $n=2$ : $P_2=1-4X+4X^2$, $N(P_2)=9=3^2$, et $P_2(t)=(1-2t{)}^2$ a pour maximum $1$ sur $[0,1]$. $n=10$ : $N(P_{10})=3^{10}=59049$ contre $\Vert P_{10}{\Vert }_{\infty }=1$.

Le point délicat. On ne démontre jamais une non-équivalence en niant l'inégalité « pour tout $P$ » : il faut construire l'objet qui la viole. L'idée est de faire travailler les signes — un polynôme à coefficients alternés est minuscule sur $[0,1]$, où les termes se compensent, tout en ayant des coefficients énormes qui se révèlent en $t=-1$, où plus rien ne se compense.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe en trois temps : établir l'inégalité facile, supposer l'autre, chercher la suite qui la fait exploser — puis homogénéiser, pour transformer « le rapport n'est pas borné » en « une suite converge pour l'une et pas pour l'autre ».