mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Deux normes non équivalentes sur $R [X]$

Topologie des espaces vectoriels normés · B. Suites, normes équivalentes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Sur $E = R [X]$ , on pose, pour $P = \sum_{k} a_{k} X^{k}$ , $N (P) = k \sum ∣ a_{k} ∣, ∥ P ∥_{\infty} = t \in [0, 1] sup ∣ P (t) ∣.$ a) Vérifier que $∥ P ∥_{\infty} \leq N (P)$ pour tout $P$ . b) Montrer que les deux normes ne sont pas équivalentes, en étudiant $P_{n} = (1 - 2 X)^{n}$ . c) Reformuler la conclusion en termes de suites convergentes. d) Pourquoi ce phénomène est-il impossible sur $R_{n} [X]$ ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Pour infirmer une équivalence de normes, il faut exhiber une suite témoin rendant le rapport non borné. Toute la difficulté est de fabriquer des polynômes petits sur $[0, 1]$ mais à gros coefficients : ce sont les signes alternés qui produisent cet effet, et l'évaluation en $- 1$ qui mesure d'un coup la taille des coefficients.

a) L'inégalité facile. Pour $t \in [0, 1]$ , on a $0 \leq t^{k} \leq 1$ , donc $∣ P (t) ∣ = k \sum a_{k} t^{k} \leq k \sum ∣ a_{k} ∣ t^{k} \leq k \sum ∣ a_{k} ∣ = N (P) .$ Le majorant ne dépend pas de $t$ : en passant au supremum, $∥ P ∥_{\infty} \leq N (P)$ . Une seule des deux inégalités est acquise, avec la constante $1$ . L'équivalence exigerait de plus une constante $C > 0$ telle que $N (P) \leq C ∥ P ∥_{\infty}$ pour tout $P$ : c'est elle qu'on va détruire.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que les deux normes ne sont pas équivalentes, en étudiant $P_{n} = (1 - 2 X)^{n}$ .

Élève

Comme $∣1 - 2 t ∣ \leq 1$ sur $[0, 1]$ , j'ai $∥ P_{n} ∥_{\infty} \leq 1$ . Il suffirait que $N (P_{n})$ tende vers $+ \infty$ , mais je ne sais pas calculer la somme des modules des coefficients.

Ton plan est le bon. Développe $P_{n}$ par la formule du binôme : quel est le coefficient de $X^{k}$ , quel est son signe, et quel est son module ?

Élève

Le coefficient de $X^{k}$ est $(k n) (- 2)^{k}$ , de signe $(- 1)^{k}$ , donc de module $(k n) 2^{k}$ .

Quelle formule du cours donne la somme de ces modules ? Tu peux aussi chercher un point où évaluer $P_{n}$ rend tous les termes positifs. Ensuite, quelle inégalité exigée par l'équivalence des normes se trouve contredite ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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