$G{L}_n(\mathbb{R})$ coupé en deux, $G{L}_n(\mathbb{C})$ d'un seul tenant

a) Le groupe linéaire réel.

Ouvert. ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})={\det }^{-1}({\mathbb{R}}^{\ast })$ : $\det$ est polynomiale en les coefficients donc continue en dimension finie, et ${\mathbb{R}}^{\ast }$ est un ouvert de $\mathbb{R}$. L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert.

Dense. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Le polynôme ${\chi }_A$, de degré $n\ge 1$, a au plus $n$ racines : le spectre de $A$ est fini, donc il existe $k_0$ tel que $\frac{1}{k}$ ne soit pas valeur propre de $A$ pour $k\ge k_0$. Alors $$A_k=A-\frac{1}{k}{I}_n\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R}),\Vert A_k-A\Vert =\frac{1}{k}\Vert I_n\Vert ⟶0.$$ Toute matrice est limite de matrices inversibles : ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ est dense.

Non connexe par arcs. Supposons qu'il existe un chemin continu $\gamma :[0,1]\to {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ avec $\gamma (0)=I_n$ et $\gamma (1)=\mathrm{diag}(-1,1,\dots ,1)$. L'application $t\mapsto \det (\gamma (t))$ est continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ comme composée, vaut $1$ en $0$ et $-1$ en $1$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule en un $t_0\in ]0,1[$ : alors $\gamma (t_0)$ n'est pas inversible, ce qui contredit l'hypothèse. Le groupe linéaire réel n'est pas connexe par arcs : ses deux parties, de déterminant strictement positif et strictement négatif, ne communiquent pas.

Combien de composantes ? Exactement deux, chacune étant connexe par arcs — résultat que nous admettons ici : il se démontre par le pivot de Gauss, toute matrice de déterminant $1$ étant produit de transvections $T_{i,j}(\lambda )=I_n+\lambda E_{i,j}$, chacune reliée à l'identité par $t\mapsto T_{i,j}(t\lambda )$, de déterminant $1$. Seule la séparation était demandée, et elle est démontrée.

b) La fonction $\phi$ est polynomiale. Chaque coefficient de $M(z)=zA+(1-z)B$ s'écrit $b_{i,j}+z(a_{i,j}-b_{i,j})$ : c'est une fonction affine de $z$. Or le déterminant est un polynôme en les coefficients de sa matrice — formule $\det M={\sum }_{\sigma }\epsilon (\sigma ){\prod }_i{m}_{\sigma (i),i}$. Composée d'un polynôme et de fonctions affines, $\phi$ est polynomiale de degré au plus $n$. Enfin $\phi (0)=\det B\ne 0$ et $\phi (1)=\det A\ne 0$ : en particulier $\phi$ n'est pas le polynôme nul, et ni $0$ ni $1$ n'en est racine.

c) Les zéros sont finis, et on les contourne. $\phi$ est un polynôme non nul de degré au plus $n$ : il a au plus $n$ racines dans le corps des complexes, donc $Z$ est fini et ne contient ni $0$ ni $1$.

Il reste à relier $0$ à $1$ dans $\mathbb{C}\setminus Z$ ; le segment $[0,1]$ pouvant rencontrer $Z$, on passe par un point intermédiaire, en ligne brisée. Pour $c\in \mathbb{C}$, notons $L_c$ la ligne brisée $0\to c\to 1$, et disons que $c$ est mauvais si $L_c$ rencontre $Z$. Si $z\in Z$ est sur le segment $[0,c]$, alors $z=tc$ avec $t\in ]0,1]$ — le cas $t=0$ est exclu car $z\ne 0$ — donc $c=\frac{1}{t}z$ est sur la droite passant par $0$ et $z$ ; de même, si $z$ est sur $[c,1]$, alors $c$ est sur la droite passant par $1$ et $z$. L'ensemble des $c$ mauvais est donc contenu dans une réunion d'au plus $2n$ droites.

Prenons le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\frac{1}{2}$ et de rayon $1$ : une droite coupe un cercle en au plus deux points, donc $\mathcal{C}$ porte au plus $4n$ points mauvais, et comme il est infini il existe $c\in \mathcal{C}$ qui n'est pas mauvais. En paramétrant $L_c$ par $\gamma (t)=2tc$ sur $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ puis $\gamma (t)=(2-2t)c+(2t-1)$ sur $\left[\frac{1}{2},1\right]$, on obtient une application continue $\gamma :[0,1]\to \mathbb{C}\setminus Z$ avec $\gamma (0)=0$ et $\gamma (1)=1$.

On a démontré au passage que le plan complexe privé d'un nombre fini de points est connexe par arcs — l'énoncé géométrique dont tout dépend.

d) La conclusion. Posons $\Gamma (t)=\gamma (t)A+(1-\gamma (t))B$. L'application $\Gamma$ est continue, ses coefficients étant affines en $\gamma (t)$ et $\gamma$ étant continue. De plus $\det (\Gamma (t))=\phi (\gamma (t))\ne 0$ puisque $\gamma (t)\notin Z$ : donc $\Gamma (t)\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ pour tout $t$. Enfin $\Gamma (0)=B$ et $\Gamma (1)=A$. Deux matrices inversibles quelconques sont reliées par un chemin continu : ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs.

e) Pourquoi c'est faux sur le corps des réels. Avec $A,B$ réelles, $\psi (t)=\det (tA+(1-t)B)$ est encore un polynôme, avec $\psi (0)\ne 0$ et $\psi (1)\ne 0$ ; mais si $\psi$ s'annule entre $0$ et $1$, on ne peut pas contourner ce zéro : $\mathbb{R}$ privé d'un point n'est pas connexe par arcs, alors que $\mathbb{C}$ privé d'un point l'est. $\mathbb{C}$ est un plan réel, $\mathbb{R}$ est une droite : dans un plan on fait un détour, sur une droite il faut passer par le trou.

La formulation la plus courte. $\det$ envoie ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$ sur ${\mathbb{K}}^{\ast }$ ; or ${\mathbb{C}}^{\ast }$ est connexe par arcs, ${\mathbb{R}}^{\ast }$ ne l'est pas, et l'image continue d'un connexe par arcs est connexe par arcs.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe « invariant continu » : pour montrer qu'un ensemble n'est pas connexe par arcs, on cherche une fonction continue à valeurs réelles qui y prend deux valeurs sans prendre celles du milieu. Puis le contournement des zéros d'un polynôme dans le plan complexe. Enfin, que la connexité est une propriété du corps de base autant que de l'ensemble : le même groupe, décrit par les mêmes équations, est connexe sur $\mathbb{C}$ et coupé en deux sur $\mathbb{R}$.