L'identité du parallélogramme caractérise l'euclidien

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les axiomes d'une norme, la bilinéarité et la symétrie d'un produit scalaire, rien d'autre. Stratégie : un développement de $\Vert x\pm y{\Vert }^2$ dans un sens, une reconstruction du produit scalaire à partir de la seule norme dans l'autre.

a) Le sens direct, et l'unicité. Supposons $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$. Par bilinéarité et symétrie, $$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2,\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2.$$ En additionnant, les doubles produits disparaissent : $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\left(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2\right)$. C'est l'identité du parallélogramme. En soustrayant, ce sont les carrés qui disparaissent : $$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2\right).$$ C'est la formule de polarisation : le produit scalaire s'exprime entièrement à l'aide de la norme, donc deux produits scalaires de même norme sont égaux.

b) La réciproque. L'énoncé autorise à admettre la bilinéarité de $\phi$, qui est la partie longue de la démonstration. Vérifions tout ce qui ne s'admet pas.

Symétrie. $\Vert y+x\Vert =\Vert x+y\Vert$ par commutativité de l'addition, et $\Vert y-x\Vert =\Vert -(x-y)\Vert =|-1|\Vert x-y\Vert =\Vert x-y\Vert$ par homogénéité de la norme. Les deux termes sont inchangés : $\phi (y,x)=\phi (x,y)$.

Valeur en $(x,x)$. C'est le point qui relie les deux objets : $$\phi (x,x)=\frac{1}{4}\left(\Vert 2x{\Vert }^2-\Vert 0{\Vert }^2\right)=\frac{1}{4}\cdot 4\Vert x{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2.$$ La norme associée à $\phi$ est donc exactement $\Vert \cdot \Vert$, et non une autre.

Défini positif. $\phi (x,x)=\Vert x{\Vert }^2\ge 0$, et $\phi (x,x)=0⟺\Vert x\Vert =0⟺x=0$, par l'axiome de séparation.

Ainsi $\phi$ est bilinéaire symétrique définie positive : c'est un produit scalaire, et la norme qu'il induit est $\Vert \cdot \Vert$. Une norme provient d'un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme, et ce produit scalaire est alors unique.

c) Trois disqualifications. Le critère est une identité universelle : un seul couple de vecteurs suffit à la mettre en défaut.

Sur ${\mathbb{R}}^2$, avec $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$, on a $x+y=(1,1)$ et $x-y=(1,-1)$.

• Norme $\Vert \cdot {\Vert }_1$ : $\Vert x+y{\Vert }_1=\Vert x-y{\Vert }_1=2$, membre de gauche $4+4=8$ ; membre de droite $2(1+1)=4$. Comme $8\ne 4$, $\Vert \cdot {\Vert }_1$ n'est pas euclidienne.
• Norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ : $\Vert x+y{\Vert }_{\infty }=\Vert x-y{\Vert }_{\infty }=1$, membre de gauche $1+1=2\ne 4$. Pas euclidienne non plus.

Sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, prenons $f:t\mapsto 1$ et $g:t\mapsto t$. Alors $\Vert f{\Vert }_{\infty }=\Vert g{\Vert }_{\infty }=1$, $\Vert f+g{\Vert }_{\infty }={\sup }_{[0,1]}(1+t)=2$ et $\Vert f-g{\Vert }_{\infty }={\sup }_{[0,1]}(1-t)=1$. Le membre de gauche vaut $4+1=5$, le membre de droite $4$ : la norme de la convergence uniforme n'est pas euclidienne.

Ce que l'exercice installe. Les normes euclidiennes forment une classe reconnaissable par une identité algébrique, sans jamais exhiber de produit scalaire candidat : en trois lignes, on sait si l'on a le droit de parler de projection orthogonale, d'adjoint, de théorème spectral.