La dimension infinie en défaut

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (MP/MPI), chapitre 4 — Topologie des espaces vectoriels normés · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Sur $E = R [X]$ muni de $∥ P ∥_{\infty} = sup_{[0, 1]} ∣ P ∣$ , montrer que la dérivation $D : P \mapsto P^{'}$ est linéaire mais non continue.

Corrigé

$D$ est linéaire (première année). Si elle était continue, il existerait $C$ avec $∥ P^{'} ∥_{\infty} \leq C ∥ P ∥_{\infty}$ pour tout $P$ . Or, pour $P_{n} = X^{n}$ : $∥ P_{n} ∥_{\infty} = [0, 1] sup t^{n} = 1, ∥ P_{n}^{'} ∥_{\infty} = [0, 1] sup n t^{n - 1} = n ⟶ + \infty :$ le rapport $\frac{∥ D P _{n} ∥}{∥ P _{n} ∥} = n$ est non borné — aucune inégalité linéaire, donc aucune continuité. (Contraste maximal avec la dimension finie, où toute application linéaire est continue : dériver est une opération « violente », et c'est tout l'enjeu de l'analyse fonctionnelle.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.