La dimension infinie en défaut

$D$ est linéaire (première année). Si elle était continue, il existerait $C$ avec $\Vert P^{\prime }{\Vert }_{\infty }\le C\Vert P{\Vert }_{\infty }$ pour tout $P$. Or, pour $P_n=X^n$ : $$\Vert P_n{\Vert }_{\infty }=\underset{[0,1]}{\sup }{t}^n=1,\Vert P_n^{\prime }{\Vert }_{\infty }=\underset{[0,1]}{\sup }n{t}^{n-1}=n⟶+\infty :$$ le rapport $\frac{\Vert D{P}_n\Vert }{\Vert P_n\Vert }=n$ est non borné — aucune inégalité linéaire, donc aucune continuité. (Contraste maximal avec la dimension finie, où toute application linéaire est continue : dériver est une opération « violente », et c'est tout l'enjeu de l'analyse fonctionnelle.)