La distance à un compact est atteinte

L'application $f:a\mapsto \Vert x_0-a\Vert$ est continue sur $K$ ($1$-lipschitzienne : seconde inégalité triangulaire). $K$ étant compact non vide, le théorème des bornes atteintes fournit $a_0\in K$ minimisant $f$ : $$\Vert x_0-a_0\Vert =\underset{a\in K}{\min }\Vert x_0-a\Vert =d(x_0,K).$$ (L'inf de la définition devient un min : c'est tout l'apport de la compacité — l'existence. Pour un fermé non borné de dimension finie, on s'y ramène par restriction : voir l'exercice suivant.)