Les matrices définies positives : un ouvert convexe

Stratégie. Deux propriétés, deux outils bien distincts. La convexité se vérifie directement sur la forme quadratique, sans aucune topologie, et elle livre la connexité par arcs gratuitement (les segments sont des chemins). L'ouverture, elle, exige une minoration uniforme de $X^{\top }AX$ sur la sphère : c'est la compacité de la sphère unité en dimension finie qui la fournit, sous la forme ${\lambda }_{\min }(A)>0$. Sans elle, on n'aurait qu'un infimum, éventuellement nul.

Le cadre.

$${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})=\left\{A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}):\forall X\ne 0,X^{\top }AX>0\right\}\subset {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}).$$

L'espace ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, donc de dimension finie ; on le munit de la norme subordonnée $|||\cdot {|||}_2$, ce qui est sans conséquence puisque toutes les normes y sont équivalentes.

Partie 1 — convexité. Soient $A,B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $t\in [0,1]$ ; posons $M=tA+(1-t)B$.

• $M$ est symétrique : ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel, donc stable par combinaison linéaire.
• Soit $X\ne 0$. Alors

$$X^{\top }MX=t{X}^{\top }AX+(1-t)X^{\top }BX.$$

Les deux quantités $X^{\top }AX$ et $X^{\top }BX$ sont strictement positives par hypothèse ; les coefficients $t$ et $1-t$ sont positifs et ne sont pas tous deux nuls. La somme est donc strictement positive.

Ainsi $M\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ : l'ensemble est convexe. Un convexe est en particulier étoilé, donc connexe par arcs : le segment $t\mapsto tA+(1-t)B$ est un chemin continu joignant $B$ à $A$ et tracé tout entier dans ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.

Partie 2 — ouverture dans ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.

Soit $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. La sphère unité $\Sigma =\left\{X\in {\mathbb{R}}^n:{\Vert X\Vert }_2=1\right\}$ est fermée et bornée en dimension finie, donc compacte, et l'application $X\mapsto X^{\top }AX$ y est continue (polynomiale en les coordonnées). Elle y atteint donc son minimum, et ce minimum vaut ${\lambda }_{\min }(A)$ par le quotient de Rayleigh (chapitre 3). Comme $A$ est définie positive, ce minimum est strictement positif :

$${\Vert X\Vert }_2=1⟹X^{\top }AX\ge {\lambda }_{\min }(A)>0.$$

C'est la minoration uniforme cherchée : la compacité transforme « $X^{\top }AX>0$ pour chaque $X$ » en « $X^{\top }AX\ge \delta$ pour tous les $X$ à la fois », avec $\delta ={\lambda }_{\min }(A)$ indépendant de $X$.

Soit maintenant $H\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ avec $|||H{|||}_2<{\lambda }_{\min }(A)$. Pour ${\Vert X\Vert }_2=1$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne

$$\left|X^{\top }HX\right|\le {\Vert X\Vert }_2{\Vert HX\Vert }_2\le |||H{|||}_2{\Vert X\Vert }_2^2=|||H{|||}_2,$$

donc

$$X^{\top }(A+H)X=X^{\top }AX+X^{\top }HX\ge {\lambda }_{\min }(A)-|||H{|||}_2>0.$$

Pour $X\ne 0$ quelconque, on écrit $X={\Vert X\Vert }_2\cdot \frac{X}{{\Vert X\Vert }_2}$ et l'homogénéité de degré $2$ de la forme quadratique donne $X^{\top }(A+H)X={\Vert X\Vert }_2^2\left(\dots \right)>0$. Comme $A+H$ est symétrique, on conclut $A+H\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Autrement dit, la boule de ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ de centre $A$ et de rayon ${\lambda }_{\min }(A)$ est contenue dans ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ :

$${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})\text{ est un ouvert de }{\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}).$$

Le mot « dans » n'est pas décoratif. ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ n'est pas ouvert dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ : toute boule de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ centrée en $A$ contient des matrices non symétriques, qui sont hors de l'ensemble. C'est la topologie induite qui est en jeu : les ouverts de ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ sont les $\Omega \cap {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ pour $\Omega$ ouvert de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Confondre les deux est l'erreur classique de cet exercice.

Contrôle numérique : le rayon ${\lambda }_{\min }(A)$ est optimal. Prenons

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right),\mathrm{Sp}(A)=\{1,3\},{\lambda }_{\min }(A)=1.$$

• Perturbation admissible : $H=\left(\begin{array}{cc}0& 0,9\\ 0,9& 0\end{array}\right)$ est symétrique, de spectre $\{-0,9;0,9\}$, donc $|||H{|||}_2=0,9<1$. Et de fait $A+H=\left(\begin{array}{cc}2& 1,9\\ 1,9& 2\end{array}\right)$ a pour spectre $\{0,1;3,9\}$ : elle est encore définie positive.
• Perturbation trop grande : $H^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& 1,1\\ 1,1& 0\end{array}\right)$, de norme $1,1>1$, donne $A+H^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}2& 2,1\\ 2,1& 2\end{array}\right)$, de spectre $\{-0,1;4,1\}$ : elle n'est plus définie positive.

Le rayon ${\lambda }_{\min }(A)=1$ ne peut donc pas être amélioré : la boule ouverte de rayon $1$ convient, la boule fermée de rayon $1,1$ non.

Ce qui est acquis (et ce qui est faux). ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ est un ouvert convexe de ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, donc connexe par arcs. C'est même un cône convexe ouvert : il est stable par somme ($X^{\top }(A+B)X=X^{\top }AX+X^{\top }BX>0$) et par multiplication par un scalaire strictement positif. Mais il n'est ni fermé — la suite $\frac{1}{k}{I}_n$ y vit et tend vers $0\notin {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ — ni borné — les $k{I}_n$ y sont pour tout $k$ — donc pas compact. Cette ouverture est le fondement des méthodes numériques de type Newton en optimisation : une hessienne définie positive le reste sous petite perturbation, donc le caractère de minimum local est stable.