Les trois normes

Les trois normes

Topologie des espaces vectoriels normés · Niveau ★ — application directe du cours · niveau 1 (application)

Énoncé

Calculer $∥ x ∥_{1}$ , $∥ x ∥_{2}$ , $∥ x ∥_{\infty}$ pour $x = (1, - 2, 2)$ , et démontrer les inégalités générales sur $K^{n}$ : $∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{2} \leq ∥ x ∥_{1} \leq n ∥ x ∥_{\infty} .$

Corrigé

$∥ x ∥_{1} = 1 + 2 + 2 = 5$ , $∥ x ∥_{2} = 1 + 4 + 4 = 3$ , $∥ x ∥_{\infty} = 2$ (et l'on vérifie $2 \leq 3 \leq 5 \leq 6$ ✓).

En général : $∥ x ∥_{\infty}^{2} = max x_{i}^{2} \leq \sum x_{i}^{2} = ∥ x ∥_{2}^{2}$ ; puis $∥ x ∥_{2}^{2} = \sum ∣ x_{i} ∣ ∣ x_{i} ∣ \leq (\sum ∣ x_{i} ∣)^{2} = ∥ x ∥_{1}^{2}$ (termes croisés positifs) ; enfin $∥ x ∥_{1} \leq n max ∣ x_{i} ∣$ . Ces inégalités montrent que les trois normes sont équivalentes sur $K^{n}$ — cas particulier explicite du théorème général de la dimension finie.

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables