Les trois normes subordonnées : infinie, un, euclidienne

La stratégie. Une norme d'opérateur est un supremum sur un ensemble infini : on ne la calcule pas, on la prouve, en deux temps identiques. D'abord une majoration valable pour tout $x$ de la boule unité, qui donne $\Vert \Vert A\Vert \Vert \le C$ ; ensuite un vecteur d'égalité $x_0$ de norme $1$ avec $\Vert A{x}_0\Vert =C$, qui donne l'inégalité inverse et fait du supremum un maximum. Les trois cas ne diffèrent que par ce vecteur.

a) Deux remarques préalables. Si $\Vert x{\Vert }_p\le 1$ et $x\ne 0$, posons $u=\frac{x}{\Vert x{\Vert }_p}$, de norme $1$ : par homogénéité $\Vert Ax{\Vert }_p=\Vert x{\Vert }_p\Vert Au{\Vert }_p\le \Vert Au{\Vert }_p$. Tout point de la boule donne une valeur au plus égale à celle d'un point de la sphère, et $x=0$ donne $0$ : les deux suprema coïncident.

Sous-multiplicativité : pour $\Vert x{\Vert }_p\le 1$, l'inégalité fondamentale $\Vert Ay\Vert \le \Vert \Vert A\Vert \Vert \Vert y\Vert$ appliquée à $y=Bx$ donne $\Vert ABx{\Vert }_p\le \Vert \Vert A\Vert {\Vert }_p\Vert Bx{\Vert }_p\le \Vert \Vert A\Vert {\Vert }_p\Vert \Vert B\Vert {\Vert }_p$, et l'on passe au supremum. Au passage $\Vert \Vert I_n\Vert {\Vert }_p=1$.

b) La norme subordonnée à la norme infinie. Posons $C_{\infty }={\max }_i{\sum }_j|a_{i,j}|$.

Majoration. Soit $\Vert x{\Vert }_{\infty }\le 1$, c'est-à-dire $|x_j|\le 1$ pour tout $j$. Pour chaque ligne $i$, $$\left|(Ax{)}_i\right|=\left|\sum _j{a}_{i,j}{x}_j\right|\le \sum _j|a_{i,j}||x_j|\le \sum _j|a_{i,j}|\le C_{\infty }.$$ Le majorant ne dépend pas de $i$, donc $\Vert Ax{\Vert }_{\infty }={\max }_i|(Ax{)}_i|\le C_{\infty }$ et $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_{\infty }\le C_{\infty }$.

Le vecteur d'égalité. Si $A=0$, c'est évident. Sinon soit $i_0$ réalisant le maximum. Posons $x_j=1$ si $a_{i_0,j}\ge 0$ et $x_j=-1$ sinon — le signe de $a_{i_0,j}$, avec la convention que le signe de $0$ vaut $+1$. Alors $\Vert x{\Vert }_{\infty }=1$ et $$(Ax{)}_{i_0}=\sum _j{a}_{i_0,j}{x}_j=\sum _j|a_{i_0,j}|=C_{\infty },$$ puisque chaque produit vaut $|a_{i_0,j}|$. Donc $\Vert Ax{\Vert }_{\infty }\ge C_{\infty }$, et $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_{\infty }={\max }_i{\sum }_j|a_{i,j}|$.

c) La norme subordonnée à la norme un. Posons $C_1={\max }_j{\sum }_i|a_{i,j}|$. Pour $\Vert x{\Vert }_1={\sum }_j|x_j|\le 1$, $$\Vert Ax{\Vert }_1=\sum _i\left|\sum _j{a}_{i,j}{x}_j\right|\le \sum _i\sum _j|a_{i,j}||x_j|=\sum _j|x_j|\left(\sum _i|a_{i,j}|\right)\le C_1\sum _j|x_j|\le C_1,$$ où l'on a interverti les deux sommes finies : c'est le geste décisif, il fait apparaître les sommes de colonnes. Donc $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_1\le C_1$. Pour l'égalité, soit $j_0$ réalisant le maximum et $x=e_{j_0}$ : $\Vert e_{j_0}{\Vert }_1=1$, et $A{e}_{j_0}$ est la $j_0$-ième colonne de $A$, donc $\Vert A{e}_{j_0}{\Vert }_1={\sum }_i|a_{i,j_0}|=C_1$. D'où $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_1={\max }_j{\sum }_i|a_{i,j}|$.

d) La norme subordonnée euclidienne. Posons $S=A^{\top }A$.

Étape 1 — $S$ est symétrique positive. D'abord $S^{\top }=(A^{\top }A{)}^{\top }=A^{\top }(A^{\top }{)}^{\top }=S$ ; ensuite $x^{\top }Sx=(Ax{)}^{\top }(Ax)=\Vert Ax{\Vert }_2^2\ge 0$ pour tout $x$. Son spectre est donc contenu dans ${\mathbb{R}}_{+}$ (chapitre 3) et ${\lambda }_{\max }(S)\ge 0$ : la racine carrée a un sens.

Étape 2 — le quotient de Rayleigh. Le théorème spectral donne une base orthonormée $(u_1,\dots ,u_n)$ de vecteurs propres de $S$, de valeurs propres ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$. Pour $x={\sum }_i{c}_i{u}_i$ de norme $1$, on a ${\sum }_i{c}_i^2=1$ et $$\Vert Ax{\Vert }_2^2=x^{\top }Sx=\sum _i{\lambda }_i{c}_i^2\le {\lambda }_{\max }(S)\sum _i{c}_i^2={\lambda }_{\max }(S).$$

Étape 3 — égalité et conclusion. En prenant pour $x$ un vecteur propre unitaire $e$ associé à ${\lambda }_{\max }(S)$, on obtient $\Vert Ae{\Vert }_2^2=e^{\top }Se={\lambda }_{\max }(S)$. Comme $t\mapsto \sqrt{t}$ est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$, la majoration donne $\Vert Ax{\Vert }_2\le \sqrt{{\lambda }_{\max }(S)}$ pour tout $x$ unitaire, avec égalité en $e$ : le supremum est atteint et $$\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{\max }\left(A^{\top }A\right)}.$$

e) Le calcul sur un exemple. Pour la transvection $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ :

• sommes de lignes $2$ et $1$, donc $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_{\infty }=2$ ;
• sommes de colonnes $1$ et $2$, donc $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_1=2$ ;
• $A^{\top }A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, de trace $3$ et de déterminant $2-1=1$, donc de polynôme caractéristique $X^2-3X+1$ et de valeurs propres $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$. D'où $$\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_2=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,6180,$$ la dernière égalité se vérifiant en élevant au carré : ${\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$. La norme subordonnée euclidienne d'une transvection élémentaire est le nombre d'or.

Enfin $A$ est triangulaire de diagonale $(1,1)$ : son unique valeur propre est $1$, donc $\rho (A)=1$ et $$\rho (A)=1<\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_2\approx 1,618<\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_1=\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_{\infty }=2.$$

Le point délicat. Le rayon spectral n'est pas une norme : il s'annule sur toute nilpotente non nulle, alors qu'une norme ne s'annule qu'en $0$ ; et l'exemple montre qu'il n'égale pas la norme subordonnée euclidienne, même pour une matrice inversible. Les réels $\sqrt{{\lambda }_i(A^{\top }A)}$ sont les valeurs singulières de $A$, et $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_2$ est la plus grande. Deux cas simples : $A$ orthogonale donne $A^{\top }A=I_n$ et $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_2=1$ ; $A$ symétrique donne $A^{\top }A=A^2$, de valeurs propres les ${\lambda }_i^2$, donc $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_2=\rho (A)$.

Ce que l'exercice installe. Un supremum sur un ensemble infini se calcule exactement, par une majoration suivie d'un vecteur d'égalité — et, dans le cas euclidien, par un problème aux valeurs propres. La sous-multiplicativité, elle, permettra d'écrire $\Vert \frac{A^n}{n!}\Vert \le \frac{\Vert \Vert A\Vert {\Vert }^n}{n!}$ au chapitre suivant.