Norme ou pas ?

$N$ : oui — séparation ($|x|+2|y|=0\Rightarrow x=y=0$), homogénéité et inégalité triangulaire héritées de la valeur absolue.

$N^{\prime }$ : non — la séparation échoue : $N^{\prime }(1,-1)=0$ avec $(1,-1)\ne 0$ (c'est une semi-norme).

$N^{\prime \prime }$ : non — l'homogénéité échoue : $N^{\prime \prime }(0,\lambda )={\lambda }^2\ne |\lambda |\cdot 1=|\lambda |N^{\prime \prime }(0,1)$ pour $\lambda =2$.