Normes non équivalentes

Topologie des espaces vectoriels normés · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Sur $E = C ([0, 1], R)$ , montrer que $∥ f ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ , mais que les normes $∥ \cdot ∥_{1}$ et $∥ \cdot ∥_{\infty}$ ne sont pas équivalentes.

Corrigé

$∥ f ∥_{1} = \int_{0}^{1} ∣ f ∣ \leq \int_{0}^{1} ∥ f ∥_{\infty} = ∥ f ∥_{\infty}$ : une inégalité a toujours lieu.

Pour l'autre sens, la suite $f_{n} (t) = t^{n}$ : $∥ f_{n} ∥_{\infty} = 1 mais ∥ f_{n} ∥_{1} = \int_{0}^{1} t^{n} d t = \frac{1}{n + 1} \to 0 :$ le rapport $\frac{∥ f _{n} ∥ _{\infty}}{∥ f _{n} ∥ _{1}} = n + 1$ est non borné — aucune constante $C$ ne peut donner $∥ f ∥_{\infty} \leq C ∥ f ∥_{1}$ . (La suite $(f_{n})$ converge vers $0$ en moyenne mais pas uniformément : en dimension infinie, le mode de convergence est un choix.)

Énoncé

Corrigé

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