Ouvert, fermé, ni l'un ni l'autre

Topologie des espaces vectoriels normés · Niveau ★ — application directe du cours · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans $R^{2}$ : la partie $U = {(x, y) : x > 0}$ est-elle ouverte ? La partie $H = {(x, y) : x y = 1}$ fermée ? Déterminer intérieur, adhérence et frontière de $A = [0, 1 [\times {0}$ … puis, plus simple, de $A = [0, 1 [$ dans $R$ .

Corrigé

$U = p_{1}^{- 1} (] 0, + \infty [)$ avec $p_{1} (x, y) = x$ continue (linéaire en dimension finie) : image réciproque d'un ouvert — ouvert. De même $H = f^{- 1} ({1})$ avec $f (x, y) = x y$ continue (polynomiale) : image réciproque d'un fermé — fermé.

Pour $A = [0, 1 [\subset R$ : $A ˚ =] 0, 1 [$ , $A = [0, 1]$ (la suite $1 - \frac{1}{n}$ de $A$ converge vers $1$ : $1$ est adhérent), $\partial A = {0, 1}$ : $A$ n'est ni ouvert ( $0$ n'est pas intérieur) ni fermé ( $1 \in / A$ ). Dans $R^{2}$ , pour $A = [0, 1 [\times {0}$ : $A ˚ = \emptyset$ (toute boule centrée en un point de $A$ contient des points d'ordonnée non nulle), $A = \partial A = [0, 1] \times {0}$ — l'intérieur dépend de l'espace ambiant.

Énoncé

Corrigé

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