mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

d'Alembert aux frontières

Séries numériques et vectorielles · A. Règle de d'Alembert et séries vectorielles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $x > 0$ et $n \in N$ on pose $u_{n} (x) = (n 2 n) x^{n}$ , le coefficient binomial se lisant « n parmi 2n » — $2 n$ en haut, $n$ en bas.

1) Calculer $\frac{u _{n + 1} ( x )}{u _{n} ( x )}$ et sa limite. En déduire la nature de $\sum u_{n} (x)$ pour $x < \frac{1}{4}$ et pour $x > \frac{1}{4}$ .

2) Que dit la règle de d'Alembert pour $x = \frac{1}{4}$ ? Vérifier que le rapport vaut alors $\frac{2 n + 1}{2 n + 2} < 1$ : la suite est décroissante. Est-ce suffisant pour conclure ?

3) Montrer que $u_{n} (\frac{1}{4}) = k = 1 \prod n \frac{2 k - 1}{2 k}$ , puis, par récurrence, que $u_{n} (\frac{1}{4}) \geq \frac{1}{2 n}$ .

4) Conclure : donner l'ensemble exact des $x > 0$ pour lesquels $\sum u_{n} (x)$ converge.

Corrigé de la question 1

La stratégie. La règle de d'Alembert donne une limite $ℓ$ et tranche quand $ℓ \neq = 1$ . Le cas $ℓ = 1$ n'est pas un cas particulier fâcheux : c'est le cas où l'information est ailleurs, et où il faut redescendre à la main sur le terme général. Ici, ce sera une minoration obtenue par récurrence.

1) Le rapport et sa limite. Pour $x > 0$ , tous les $u_{n} (x)$ sont strictement positifs, et $\frac{u _{n + 1} ( x )}{u _{n} ( x )} = \frac{( n + 1 2 n + 2 )}{( n 2 n )} x .$ Or $\frac{( n + 1 2 n + 2 )}{( n 2 n )} = \frac{( 2 n + 2 )!}{( ( n + 1 )! ) ^{2}} \cdot \frac{( n ! ) ^{2}}{( 2 n )!} = \frac{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n + 1},$ car $(2 n + 2)! = (2 n + 2) (2 n + 1) (2 n)!$ et $(n + 1)! = (n + 1) n!$ . Donc $\frac{u _{n + 1} ( x )}{u _{n} ( x )} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n + 1} x n \to + \infty 4 x .$

Conclusion de d'Alembert. Si $4 x < 1$ , la série converge. Si $4 x > 1$ , elle diverge, et même grossièrement : le rapport dépasse $1$ à partir d'un certain rang, donc $(u_{n} (x))$ y est croissante et minorée par un terme strictement positif, et ne tend pas vers $0$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Que dit la règle de d'Alembert pour $x = \frac{1}{4}$ ? Vérifier que le rapport vaut alors $\frac{2 n + 1}{2 n + 2} < 1$ : la suite est décroissante. Est-ce suffisant pour conclure ?

Élève

Pour $x = \frac{1}{4}$ , le rapport vaut $\frac{2 n + 1}{2 n + 2}$ , strictement inférieur à $1$ pour tout $n$ . La règle de d'Alembert donne donc la convergence, non ?

Relis l'hypothèse exacte de la règle : elle porte sur la limite du rapport, pas sur chacun des rapports. Vers quoi tend ici $\frac{2 n + 1}{2 n + 2}$ ? Et connais-tu une série à termes positifs dont le rapport de deux termes consécutifs est toujours strictement inférieur à $1$ , mais dont tu connais bien la nature ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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