d'Alembert aux frontières

La stratégie. La règle de d'Alembert donne une limite $\ell$ et tranche quand $\ell \ne 1$. Le cas $\ell =1$ n'est pas un cas particulier fâcheux : c'est le cas où l'information est ailleurs, et où il faut redescendre à la main sur le terme général. Ici, ce sera une minoration obtenue par récurrence.

1) Le rapport et sa limite. Pour $x>0$, tous les $u_n(x)$ sont strictement positifs, et $$\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{n+1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}x.$$ Or $$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{n+1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}=\frac{(2n+2)!}{{\left((n+1)!\right)}^2}\cdot \frac{(n!{)}^2}{(2n)!}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1{)}^2}=\frac{2(2n+1)}{n+1},$$ car $(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!$ et $(n+1)!=(n+1)n!$. Donc $$\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\frac{2(2n+1)}{n+1}x\underset{n\to +\infty }{\to }4x.$$

Conclusion de d'Alembert. Si $4x<1$, la série converge. Si $4x>1$, elle diverge, et même grossièrement : le rapport dépasse $1$ à partir d'un certain rang, donc $(u_n(x))$ y est croissante et minorée par un terme strictement positif, et ne tend pas vers $0$.

2) Le silence au bord. Pour $x=\frac{1}{4}$, la limite vaut $4\times \frac{1}{4}=1$ : la règle de d'Alembert ne conclut pas. Le rapport exact vaut $$\frac{u_{n+1}\left(\frac{1}{4}\right)}{u_n\left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{2(2n+1)}{4(n+1)}=\frac{2n+1}{2n+2}<1,$$ donc la suite est strictement décroissante.

Ce n'est pas suffisant. Une suite positive décroissante peut donner une série convergente ($u_n=2^{-n}$) comme divergente ($u_n=\frac{1}{n}$). La décroissance du terme général ne décide de rien : il faut savoir à quelle vitesse il décroît.

3) Le produit, et la minoration.

La forme produit. Le rapport calculé au 2) s'écrit, en décalant l'indice, $\frac{u_k\left(\frac{1}{4}\right)}{u_{k-1}\left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{2k-1}{2k}$. Comme $u_0\left(\frac{1}{4}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)=1$, un produit télescopique donne $$u_n\left(\frac{1}{4}\right)=\prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdots \frac{2n-1}{2n}.$$ Notons $W_n$ ce produit.

La minoration $W_n\ge \frac{1}{2\sqrt{n}}$, par récurrence.

Initialisation. $W_1=\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$ : l'inégalité est vraie, avec égalité.

Hérédité. Supposons $W_n\ge \frac{1}{2\sqrt{n}}$. Alors $$W_{n+1}=W_n\cdot \frac{2n+1}{2n+2}\ge \frac{1}{2\sqrt{n}}\cdot \frac{2n+1}{2n+2}.$$ Il suffit donc de montrer que $$\frac{2n+1}{2\sqrt{n}(2n+2)}\ge \frac{1}{2\sqrt{n+1}},\text{c’est-aˋ-dire}(2n+1)\sqrt{n+1}\ge (2n+2)\sqrt{n}.$$ Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré : $$(2n+1{)}^2(n+1)\ge (2n+2{)}^{2}n.$$ Développons. À gauche : $(4n^2+4n+1)(n+1)=4n^3+4n^2+n+4n^2+4n+1=4n^3+8n^2+5n+1$. À droite : $(4n^2+8n+4)n=4n^3+8n^2+4n$. La différence vaut $$\left(4n^3+8n^2+5n+1\right)-\left(4n^3+8n^2+4n\right)=n+1>0.$$ L'inégalité est donc vraie, et $W_{n+1}\ge \frac{1}{2\sqrt{n+1}}$ : la récurrence est établie.

4) Conclusion. Pour $x=\frac{1}{4}$, le terme général vérifie $u_n\left(\frac{1}{4}\right)=W_n\ge \frac{1}{2\sqrt{n}}$, terme général d'une série de Riemann d'exposant $\frac{1}{2}\le 1$, donc divergente. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_n\left(\frac{1}{4}\right)$ diverge.

En rassemblant les trois cas : $$\sum _{n\ge 0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)x^n\text{ converge si et seulement si }0\le x<\frac{1}{4}.$$ Le bord est exclu, et c'est le seul point que la règle de d'Alembert ne savait pas trancher.

Le point délicat. Toute la question 3 repose sur le fait qu'un produit de rapports se télescope : une récurrence sur le rapport donne la forme close, et c'est cette forme close, et non le coefficient binomial, qui se laisse minorer. L'hérédité, elle, se ramène à une inégalité polynomiale qu'on vérifie en développant — il faut le faire, sans se contenter de dire qu'elle est « claire ».

Ce que l'exercice installe. La règle de d'Alembert désigne le bord et s'y tait : devant $\ell =1$, on ne cherche pas un autre critère général — il n'y en a pas — on redescend sur le terme général et on l'encadre à la main. Le problème final donnera l'équivalent exact $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)4^{-n}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$, de constante $\frac{1}{\sqrt{\pi }}\approx 0,564$, supérieure au $\frac{1}{2}$ de notre minoration : les deux résultats se contrôlent l'un l'autre.