mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 5 · Exercice classique

Exponentielle d'une somme de matrices qui commutent

Séries numériques et vectorielles · A. Règle de d'Alembert et séries vectorielles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer que si $A$ et $B$ commutent, alors $exp (A + B) = exp (A) exp (B)$ (en admettant l'extension du produit de Cauchy aux séries matricielles absolument convergentes) (produit de Cauchy et binôme — exactement la preuve de $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ ). En déduire que $exp (A)$ est toujours inversible, d'inverse $exp (- A)$ .

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

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