La règle de d'Alembert en action

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1{)}^2}{2n^2}\to \frac{1}{2}<1:\text{converge};\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{10}\to +\infty :\text{diverge}\text{ (grossieˋrement)}.$$ Pour $\sum \frac{1}{n}$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n}{n+1}\to 1$ — d'Alembert ne conclut pas ; c'est Riemann qui tranche (divergence). (Réflexe : d'Alembert pour les factorielles et les puissances ; Riemann et les équivalents pour le polynomial.)