La série des moyennes géométriques de deux termes consécutifs

La stratégie. Une seule inégalité fait tout le travail dans un sens — l'inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique —, et c'est son cas d'égalité qui indique où chercher le contre-exemple de l'autre sens : là où deux termes consécutifs sont très différents.

1) Le sens direct. Pour $a,b\ge 0$, l'inégalité arithmético-géométrique $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$ équivaut, après élévation au carré des deux membres positifs, à $4ab\le (a+b{)}^2$, c'est-à-dire à $0\le (a-b{)}^2$. Appliquée à $a=u_n$ et $b=u_{n+1}$ : $$0\le \sqrt{u_n{u}_{n+1}}\le \frac{u_n+u_{n+1}}{2}.$$ Or $\sum \frac{u_n+u_{n+1}}{2}$ converge : c'est la demi-somme de $\sum u_n$ et de $\sum u_{n+1}$, deux séries convergentes — la seconde est la première décalée d'un rang. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ converge.

2) Le cas d'égalité, et ce qu'il indique. L'inégalité est une égalité si et seulement si $(a-b{)}^2=0$, c'est-à-dire $a=b$ : la majoration est serrée quand deux termes consécutifs sont proches, et très lâche quand ils sont très différents, la moyenne géométrique étant alors écrasée par le petit des deux facteurs. C'est la porte de sortie pour un contre-exemple : il faut une suite qui alterne entre de grandes et de très petites valeurs, de sorte que chaque produit $u_n{u}_{n+1}$ reste minuscule alors que $\sum u_n$ diverge.

3) Le contre-exemple. Posons $u_{2k}=1$ et $u_{2k+1}=16^{-k}$ pour $k\ge 0$.

La série $\sum u_n$ diverge. Son terme général ne tend pas vers $0$, puisque $u_{2k}=1$ pour tout $k$ : c'est une divergence grossière.

La série des moyennes géométriques converge. Calculons les deux types de termes.

• Pour $n=2k$ : $\sqrt{u_{2k}{u}_{2k+1}}=\sqrt{1\times 16^{-k}}=4^{-k}$.
• Pour $n=2k+1$ : $\sqrt{u_{2k+1}{u}_{2k+2}}=\sqrt{16^{-k}\times 1}=4^{-k}$.

Chaque valeur $4^{-k}$ apparaît donc deux fois, et $$\sum _{n\ge 0}\sqrt{u_n{u}_{n+1}}=\sum _{k\ge 0}\left(4^{-k}+4^{-k}\right)=2\sum _{k\ge 0}{4}^{-k}=2\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}.$$ La série converge, et sa somme vaut exactement $\frac{8}{3}$.

La réciproque est donc fausse : $\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ peut converger sans que $\sum u_n$ converge. Et l'on voit pourquoi : un terme sur deux vaut $1$, mais il est toujours multiplié par un terme minuscule avant qu'on en prenne la racine.

4) Avec la monotonie, l'équivalence est rétablie. Supposons $(u_n)$ positive et décroissante. Alors $u_{n+1}\le u_n$, donc $$u_{n+1}^2=u_{n+1}\cdot u_{n+1}\le u_n{u}_{n+1}\le u_n\cdot u_n=u_n^2,$$ et en prenant la racine carrée, croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$ : $$u_{n+1}\le \sqrt{u_n{u}_{n+1}}\le u_n.$$

Un sens. Si $\sum u_n$ converge, $\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ converge par la majoration de droite — c'est d'ailleurs déjà le 1).

L'autre sens. Si $\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ converge, alors $\sum u_{n+1}$ converge par la minoration de gauche et comparaison de séries à termes positifs ; or $\sum u_{n+1}$ est $\sum u_n$ décalée d'un rang : les deux ont même nature. Donc $\sum u_n$ converge.

Les deux séries ont donc même nature dès que $(u_n)$ est décroissante — et l'on comprend rétrospectivement que le contre-exemple du 3) devait osciller, ce qu'il fait violemment.

Ce que l'exercice installe. Une inégalité de moyennes transporte la convergence dans un sens et un seul, et le cas d'égalité dit exactement où l'autre sens peut casser. Retenir la méthode : un énoncé « si et seulement si » ne se réfute jamais par une intuition, il se réfute par un contre-exemple construit, et la construction se lit dans le cas d'égalité de l'inégalité qu'on a utilisée.