mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Problème — La formule de Stirling, par les intégrales de Wallis

Séries numériques et vectorielles · D. Études asymptotiques complètes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $n \in N$ , on pose $W_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} t d t$ (intégrales de Wallis, sur un segment).

1) Montrer que $(W_{n})$ est strictement positive et strictement décroissante, que $(n + 2) W_{n + 2} = (n + 1) W_{n}$ , puis que $(n + 1) W_{n + 1} W_{n} = \frac{π}{2}$ pour tout $n$ .

2) En déduire $W_{n + 1} \sim W_{n}$ , puis $W_{n} \sim \frac{π}{2 n}$ .

3) Soit $v_{n} = ln (\frac{n ! e ^{n}}{n ^{n + 1/2}})$ pour $n \geq 1$ . Montrer que $v_{n + 1} - v_{n} = 1 - (n + \frac{1}{2}) ln (1 + \frac{1}{n}) = O (\frac{1}{n ^{2}})$ , en déduire que $(v_{n})$ converge, et donc qu'il existe $C > 0$ tel que $n! \sim C n^{n + 1/2} e^{- n}$ .

4) Montrer que $W_{2 n} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4 ^{n}} (n 2 n)$ , puis, en y injectant l'équivalent de la question 3, que $\frac{1}{4 ^{n}} (n 2 n) \sim \frac{2}{C n}$ .

5) Confronter les questions 2 et 4 : en déduire $C$ , et énoncer le théorème obtenu. Faire un contrôle numérique en $n = 10$ .

6) En déduire $(n 2 n) \sim \frac{4 ^{n}}{π n}$ et retrouver, avec la vitesse, la divergence établie à l'exercice 5.

Corrigé de la question 1

Le plan. Le lien suite-série donne l'existence d'une constante, jamais sa valeur : il montre que $n! e^{n} n^{- n - 1/2}$ converge, mais il ne dit rien de la limite. Il faut donc un second calcul, indépendant, qui fasse apparaître la même constante sous une autre forme — ce sera Wallis — puis confronter les deux. C'est le schéma de toute constante d'analyse, et il faut noter que la constante d'Euler $γ$ , elle, n'a jamais reçu de seconde identité de ce genre.

1) Les intégrales de Wallis.

Positivité. Sur $[0, \frac{π}{2}]$ , $t \mapsto sin^{n} t$ est continue, positive et non identiquement nulle — elle vaut $1$ en $\frac{π}{2}$ — donc son intégrale est strictement positive (première année).

Décroissance. Sur $[0, \frac{π}{2}]$ on a $0 \leq sin t \leq 1$ , donc $sin^{n + 1} t \leq sin^{n} t$ , l'inégalité étant stricte sur $] 0, \frac{π}{2} [$ . Donc $W_{n} - W_{n + 1} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} t (1 - sin t) d t > 0$ : la suite décroît strictement.

La relation de récurrence. Intégrons par parties dans $W_{n + 2} = \int_{0}^{π /2} sin^{n + 1} t \cdot sin t d t$ , en posant $u (t) = sin^{n + 1} t$ et $v^{'} (t) = sin t$ , d'où $u^{'} (t) = (n + 1) sin^{n} t cos t$ et $v (t) = - cos t$ . Ces fonctions sont de classe $C^{1}$ sur le segment : $W_{n + 2} = [- sin^{n + 1} t cos t]_{0}^{π /2} + (n + 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n} t cos^{2} t d t .$ Le crochet est nul : en $\frac{π}{2}$ , $cos = 0$ ; en $0$ , $sin^{n + 1} = 0$ (pour $n + 1 \geq 1$ ). Et avec $cos^{2} t = 1 - sin^{2} t$ : $W_{n + 2} = (n + 1) \int_{0}^{π /2} (sin^{n} t - sin^{n + 2} t) d t = (n + 1) (W_{n} - W_{n + 2}),$ d'où, en regroupant, $(n + 2) W_{n + 2} = (n + 1) W_{n}$ .

Le produit est constant. Posons $a_{n} = (n + 1) W_{n + 1} W_{n}$ . Alors $a_{n + 1} = (n + 2) W_{n + 2} W_{n + 1} = [(n + 2) W_{n + 2}] W_{n + 1} = [(n + 1) W_{n}] W_{n + 1} = a_{n} .$ La suite $(a_{n})$ est donc constante. Sa valeur en $n = 0$ : $W_{0} = \int_{0}^{π /2} d t = \frac{π}{2}$ et $W_{1} = \int_{0}^{π /2} sin t d t = [- cos t]_{0}^{π /2} = 1$ , donc $a_{0} = 1 \times 1 \times \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ . Ainsi $(n + 1) W_{n + 1} W_{n} = \frac{π}{2} pour tout n \geq 0.$

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) En déduire $W_{n + 1} \sim W_{n}$ , puis $W_{n} \sim \frac{π}{2 n}$ .

Élève

Pour $W_{n + 1} \sim W_{n}$ , la décroissance me donne $\frac{W _{n + 1}}{W _{n}} \leq 1$ , mais il me manque une minoration du quotient qui tende vers $1$ , et je ne vois pas d'où la tirer.

La décroissance peut encore servir, à condition de comparer $W_{n + 1}$ à un terme plus éloigné dont tu connais le lien avec $W_{n}$ . Quelle relation du 1) relie deux termes d'indices distants de deux ?

Élève

La récurrence $(n + 2) W_{n + 2} = (n + 1) W_{n}$ . Avec $W_{n + 2} \leq W_{n + 1}$ , j'obtiens un minorant du quotient $\frac{W _{n + 1}}{W _{n}}$ qui tend vers $1$ , donc l'encadrement marche.

Bien. Dans la relation $(n + 1) W_{n + 1} W_{n} = \frac{π}{2}$ , que devient le produit si tu y remplaces $W_{n + 1}$ par un équivalent, et quelles opérations sur les équivalents te permettent ensuite d'isoler $W_{n}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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