Puissances d'une matrice, série géométrique et rayon spectral

La stratégie. Le cours donne une condition suffisante — une norme sous-multiplicative strictement inférieure à $1$ — qui n'est pas nécessaire. La condition exacte est spectrale, et pour y accéder il faut renverser le point de vue : au lieu de subir la norme, on la fabrique, en conjuguant par une matrice diagonale bien choisie pour écraser la partie strictement triangulaire. C'est la réduction du chapitre 2 mise au service de l'analyse.

1) Le cas diagonalisable.

Convergence et somme. Écrivons $A=PD{P}^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d)$ et $|{\lambda }_i|<1$ ; alors $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ avec $D^n=\mathrm{diag}({\lambda }_i^n)$. Chaque série géométrique ${\sum }_n{\lambda }_i^n$ converge vers $\frac{1}{1-{\lambda }_i}$, donc ${\sum }_n{D}^n$ converge vers $\mathrm{diag}\left(\frac{1}{1-{\lambda }_i}\right)=(I_d-D{)}^{-1}$, la matrice $I_d-D$ étant diagonale de coefficients non nuls. L'application $M\mapsto PM{P}^{-1}$ étant linéaire donc continue en dimension finie, l'exercice 1, question 3, la passe sous la somme : $$\sum _{n\ge 0}{A}^n=\sum _{n\ge 0}P{D}^n{P}^{-1}=P\left(\sum _{n\ge 0}{D}^n\right)P^{-1}=P{\left(I_d-D\right)}^{-1}{P}^{-1}={\left(P\left(I_d-D\right)P^{-1}\right)}^{-1}={\left(I_d-A\right)}^{-1}.$$

Comparaison des deux conditions. Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $x\ne 0$ un vecteur propre associé. Pour une norme subordonnée, $$|\lambda |\Vert x\Vert =\Vert \lambda x\Vert =\Vert Ax\Vert \le \Vert \Vert A\Vert \Vert \Vert x\Vert ,\text{donc}|\lambda |\le \Vert \Vert A\Vert \Vert .$$ En prenant le maximum : $\rho (A)\le \Vert \Vert A\Vert \Vert$. La condition du cours implique donc la condition spectrale, et pas l'inverse.

Une matrice qui les sépare. Prenons $A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$ : elle est triangulaire de diagonale nulle, donc $\mathrm{Sp}(A)=\{0\}$ et $\rho (A)=0<1$ ; mais la norme subordonnée à la norme infinie vaut le maximum des sommes de lignes (chapitre 4), soit $\Vert \Vert A\Vert {\Vert }_{\infty }=2\ge 1$. La condition du cours est donc strictement plus forte.

2) Le sens facile de la caractérisation. Supposons $A^n\to 0$ et soit $\lambda$ une valeur propre, $x\ne 0$ un vecteur propre associé. L'application $M\mapsto Mx$ est linéaire de ${\mathcal{M}}_d(\mathbb{C})$ dans ${\mathbb{C}}^d$, donc continue (dimension finie) : de $A^n\to 0$ on tire $A^{n}x\to 0$. Or $A^{n}x={\lambda }^{n}x$, donc $$|\lambda {|}^n\Vert x\Vert =\Vert {\lambda }^{n}x\Vert ⟶0,$$ et comme $\Vert x\Vert \ne 0$, $|\lambda {|}^n\to 0$, ce qui impose $|\lambda |<1$. Ceci valant pour toute valeur propre, $\rho (A)<1$.

3) La norme fabriquée.

Trigonalisation. Sur le corps des complexes, ${\chi }_A$ est scindé : il existe $P$ inversible et $T$ triangulaire supérieure avec $A=PT{P}^{-1}$ (chapitre 2). Écrivons $T=D+N$, où $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d)$ porte les valeurs propres et $N$ est strictement triangulaire supérieure.

L'effet de la conjugaison diagonale. Pour $\delta >0$, posons ${\Delta }_{\delta }=\mathrm{diag}\left(1,\delta ,\dots ,{\delta }^{d-1}\right)$, inversible. Le coefficient $(i,j)$ de ${\Delta }_{\delta }^{-1}T{\Delta }_{\delta }$ vaut ${\delta }^{-(i-1)}{t}_{i,j}{\delta }^{j-1}={\delta }^{j-i}{t}_{i,j}$ : sur la diagonale il est inchangé, au-dessus il est multiplié par ${\delta }^{j-i}\to 0$, en dessous il est nul. La conjugaison écrase la partie strictement triangulaire sans toucher au spectre.

La norme. Posons $Q=P{\Delta }_{\delta }$, inversible, et $N_{\delta }(M)=\Vert \Vert Q^{-1}MQ\Vert {\Vert }_{\infty }$. C'est une norme : $M\mapsto Q^{-1}MQ$ est un automorphisme linéaire de ${\mathcal{M}}_d(\mathbb{C})$, donc les trois axiomes se transportent, la séparation venant de l'injectivité. Elle est sous-multiplicative, puisque $Q^{-1}M{M}^{\prime }Q=\left(Q^{-1}MQ\right)\left(Q^{-1}{M}^{\prime }Q\right)$ et que la norme subordonnée l'est.

La majoration. Comme $Q^{-1}AQ={\Delta }_{\delta }^{-1}{P}^{-1}\left(PT{P}^{-1}\right)P{\Delta }_{\delta }={\Delta }_{\delta }^{-1}T{\Delta }_{\delta }$, le calcul de la norme infinie subordonnée — maximum des sommes de lignes — donne, pour $\delta \le 1$, $$N_{\delta }(A)=\underset{1\le i\le d}{\max }\left(|{\lambda }_i|+\sum _{j>i}{\delta }^{j-i}\left|t_{i,j}\right|\right)\le \rho (A)+\delta \sum _{i<j}\left|t_{i,j}\right|,$$ puisque ${\delta }^{j-i}\le \delta$ pour $j>i$ et $\delta \le 1$. La quantité $C={\sum }_{i<j}|t_{i,j}|$ ne dépend que de $A$ et de la trigonalisation choisie, pas de $\delta$. Donc, pour tout $\epsilon >0$, en choisissant $\delta \le \min \left(1,\frac{\epsilon }{C+1}\right)$ : $$N_{\delta }(A)\le \rho (A)+\epsilon .$$

4) La caractérisation, et la série.

Réciproque. Supposons $\rho (A)<1$ et choisissons $\epsilon >0$ tel que $q:=\rho (A)+\epsilon <1$. La question 3 fournit une norme sous-multiplicative $N_{\delta }$ avec $N_{\delta }(A)\le q$, donc $$N_{\delta }\left(A^n\right)\le N_{\delta }(A{)}^n\le q^n⟶0.$$ Toutes les normes étant équivalentes en dimension finie, $A^n\to 0$. Avec la question 2, on a donc $$\boxed{A^n⟶0⟺\rho (A)<1.}$$

La série. Sous l'hypothèse $\rho (A)<1$, la majoration $N_{\delta }(A^n)\le q^n$ avec $q<1$ montre que $\sum N_{\delta }(A^n)$ converge — c'est une série géométrique — donc $\sum A^n$ est absolument convergente, donc convergente (exercice 1, la dimension étant finie). Notons $S$ sa somme.

Le télescopage $\left(I_d-A\right){\sum }_{n=0}^N{A}^n=I_d-A^{N+1}$ se vérifie en développant. Le produit matriciel étant bilinéaire en dimension finie, donc continu, on passe à la limite quand $N\to +\infty$ : le membre de gauche tend vers $(I_d-A)S$ et le membre de droite vers $I_d$, puisque $A^{N+1}\to 0$. Donc $\left(I_d-A\right)S=I_d$, et de même $S\left(I_d-A\right)=I_d$. Par conséquent $I_d-A$ est inversible et $$\sum _{n\ge 0}{A}^n={\left(I_d-A\right)}^{-1}.$$ (On pouvait aussi voir directement que $I_d-A$ est inversible : $1$ n'est pas valeur propre de $A$, puisque $\rho (A)<1$.)

5) Le cas critique. Si $\rho (A)=1$, la question 2 interdit $A^n\to 0$ — sa contraposée dit que $A^n\to 0$ entraîne $\rho (A)<1$. Le terme général de $\sum A^n$ ne tend donc pas vers $0$ et la série diverge grossièrement, quelle que soit la matrice. Mais le comportement de $(A^n)$, lui, varie :

• $A=I_2$ : $A^n=I_2$ pour tout $n$. La suite est bornée, constante, et ne tend pas vers $0$.
• $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ : une récurrence immédiate donne $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$, dont la norme tend vers $+\infty$. La suite n'est pas bornée.

Les deux matrices ont pourtant le même rayon spectral, égal à $1$, et le même spectre $\{1\}$ : le rayon spectral ne décide plus rien au bord. Ce qui les sépare, c'est que la première est diagonalisable et la seconde non — la partie nilpotente fait croître les puissances polynomialement.

Ce que l'exercice installe. La condition du cours, $\Vert \Vert A\Vert \Vert <1$, est suffisante et pas nécessaire ; la condition exacte est spectrale. Et la technique mérite d'être retenue pour elle-même : quand une norme ne convient pas, on en fabrique une, en conjuguant par une matrice diagonale qui écrase la partie strictement triangulaire. Le résultat, $\rho (A)<1⟺A^n\to 0$, gouverne la stabilité de tout schéma itératif $X_{k+1}=A{X}_k$.