Séries vectorielles : ce que la dimension finie autorise

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Du chapitre 4 : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes — résultat admis, sa démonstration n'étant pas exigible — et toute application linéaire est continue. De la première année : une série réelle absolument convergente converge. Le critère de Cauchy étant hors programme, c'est exactement par les coordonnées qu'il faut passer.

1) Absolue convergence en dimension finie.

Mise en place. Soit $(e_1,\dots ,e_p)$ une base de $E$ et $u_n={\sum }_{i=1}^p{c}_i^{(n)}{e}_i$. Introduisons $N(x)={\max }_i|c_i|$, où les $c_i$ sont les coordonnées de $x$ dans cette base : par équivalence des normes, il existe $\alpha ,\beta >0$ avec $\alpha N\le \Vert \cdot \Vert \le \beta N$.

Chaque suite de coordonnées donne une série absolument convergente. Pour tout $i$ et tout $n$, $$\left|c_i^{(n)}\right|\le N(u_n)\le \frac{1}{\alpha }\Vert u_n\Vert .$$ La série ${\sum }_n\Vert u_n\Vert$ convergeant, la série réelle ${\sum }_n\left|c_i^{(n)}\right|$ converge par comparaison de séries à termes positifs. Donc ${\sum }_n{c}_i^{(n)}$ est absolument convergente, donc convergente (première année) : notons $c_i$ sa somme.

Retour dans $E$. Posons $S={\sum }_{i=1}^p{c}_i{e}_i$ et $S_N={\sum }_{n=0}^N{u}_n$, dont les coordonnées sont les ${\sum }_{n=0}^N{c}_i^{(n)}$. Alors $$\Vert S_N-S\Vert \le \beta N(S_N-S)=\beta \underset{1\le i\le p}{\max }\left|\sum _{n=0}^N{c}_i^{(n)}-c_i\right|⟶0,$$ car le maximum d'un nombre fini de suites tendant vers $0$ tend vers $0$. Donc $S_N\to S$ : la série $\sum u_n$ converge.

L'inégalité triangulaire, passée à la limite. Pour tout $N$, l'inégalité triangulaire donne $$\Vert S_N\Vert \le \sum _{n=0}^N\Vert u_n\Vert \le \sum _{n=0}^{+\infty }\Vert u_n\Vert ,$$ la seconde majoration valant parce que la série $\sum \Vert u_n\Vert$ est à termes positifs, donc de sommes partielles croissantes. La norme étant $1$-lipschitzienne donc continue, $\Vert S_N\Vert \to \Vert S\Vert$, et l'inégalité passe à la limite : $$\Vert \sum _{n=0}^{+\infty }{u}_n\Vert \le \sum _{n=0}^{+\infty }\Vert u_n\Vert .$$

2) En dimension infinie, tout tombe. Soit $E$ l'espace des suites réelles nulles à partir d'un certain rang, muni de $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\sup }_k|x_k|$ — ce supremum est atteint, la suite n'ayant qu'un nombre fini de termes non nuls. Notons $e_n$ la suite valant $1$ en position $n$ et $0$ ailleurs, et posons $u_n=2^{-n}{e}_n$.

La série des normes converge. $\Vert u_n{\Vert }_{\infty }=2^{-n}$, donc ${\sum }_n\Vert u_n{\Vert }_{\infty }={\sum }_n{2}^{-n}=2<+\infty$.

La série ne converge pas dans $E$. La somme partielle $S_N$ est la suite $\left(1,\frac{1}{2},\dots ,2^{-N},0,0,\dots \right)$, qui est bien dans $E$. Supposons $S_N\to s$ dans $E$. Pour chaque $k$, l'application « $k$-ième coordonnée » est $1$-lipschitzienne puisque $|x_k|\le \Vert x{\Vert }_{\infty }$, donc continue : la $k$-ième coordonnée de $S_N$, qui vaut $2^{-k}$ dès que $N\ge k$, tend vers celle de $s$. Donc $s_k=2^{-k}$ pour tout $k$, et $s$ n'est nulle à partir d'aucun rang : $s\notin E$. Contradiction.

La série $\sum u_n$ est donc absolument convergente sans être convergente. L'implication de la question 1 est bien une propriété de la dimension finie, et non une évidence.

3) Une application linéaire passe sous la somme. Soit $v\in \mathcal{L}(E,F)$, avec $E$ et $F$ de dimension finie. Par le chapitre 4, $v$ est continue, et il existe une constante $\Vert \Vert v\Vert \Vert$ telle que $$\Vert v(x){\Vert }_F\le \Vert \Vert v\Vert \Vert \Vert x{\Vert }_E\text{pour tout }x\in E.$$

Absolue convergence. Appliquée à $x=u_n$, elle donne $\Vert v(u_n){\Vert }_F\le \Vert \Vert v\Vert \Vert \Vert u_n{\Vert }_E$, terme général d'une série convergente : $\sum \Vert v(u_n){\Vert }_F$ converge, et par la question 1 appliquée à $F$, $\sum v(u_n)$ converge.

Égalité des sommes. Par linéarité — une somme finie, pas une série —, $v(S_N)={\sum }_{n\le N}v(u_n)$. Comme $S_N\to {\sum }_n{u}_n$ et que $v$ est continue, le membre de gauche tend vers $v\left({\sum }_n{u}_n\right)$ et le membre de droite vers ${\sum }_{n}v(u_n)$ : $$\sum _{n=0}^{+\infty }v(u_n)=v\left(\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_n\right).$$

4) L'inégalité est stricte dès que les directions diffèrent. Prenons dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de $\Vert \cdot {\Vert }_2$ : $$u_0=(1,0),u_1=(0,1),u_n=(0,0)\text{ pour }n\ge 2.$$ La série est trivialement absolument convergente, de somme $(1,1)$, et $${\Vert \sum _n{u}_n\Vert }_2=\Vert (1,1){\Vert }_2=\sqrt{2}\approx 1,414<2=1+1=\sum _n\Vert u_n{\Vert }_2.$$ L'inégalité est stricte.

Le cas d'égalité. Pour la norme euclidienne, élever au carré les deux membres de $\Vert a+b\Vert =\Vert a\Vert +\Vert b\Vert$ donne $⟨a,b⟩=\Vert a\Vert \Vert b\Vert$ : c'est le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz avec le bon signe, c'est-à-dire $a$ et $b$ positivement colinéaires. Par récurrence, l'égalité $\Vert \sum u_n\Vert =\sum \Vert u_n\Vert$ exige donc que tous les $u_n$ non nuls pointent dans la même direction et le même sens ; dès que deux d'entre eux forment un angle non nul, il y a perte.

Ce que l'exercice installe. « En dimension finie » n'est pas une clause de style : c'est l'hypothèse qui donne d'un coup l'équivalence des normes, la convergence coordonnée par coordonnée et la continuité automatique de toute application linéaire — trois choses qui tombent ensemble en dimension infinie, comme le montre la question 2. Retenir aussi le geste de la question 3 : linéarité sur les sommes partielles, continuité pour passer à la limite — la linéarité seule ne dit rien d'une série.