Somme partielle de Σ 1/√ k : le terme constant

Stratégie. La comparaison série-intégrale donne l'équivalent $S_n\sim 2\sqrt{n}$, mais elle ne sait rien dire du terme suivant. Pour l'obtenir on recycle la méthode de la constante d'Euler : on retranche le terme dominant, et on étudie la suite restante par le lien suite-série, c'est-à-dire en montrant que la série de ses différences converge.

Mise en place. Posons, pour $n\ge 1$, $$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}},u_n=S_n-2\sqrt{n}.$$ Montrer l'énoncé, c'est exactement montrer que $(u_n)$ converge ; sa limite sera la constante $C$.

Étape 1 — la différence. Pour $n\ge 1$, $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$ (on a multiplié par la quantité conjuguée). En réduisant au même dénominateur : $$u_{n+1}-u_n=\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})-2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})},$$ et comme $\sqrt{n}-\sqrt{n+1}=\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$, il vient la forme close $$u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}{)}^2}.$$

Étape 2 — l'ordre de grandeur. Le dénominateur est équivalent à $\sqrt{n}\cdot (2\sqrt{n}{)}^2=4n^{3/2}$, donc $$u_{n+1}-u_n\sim -\frac{1}{4n^{3/2}}=O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right).$$ La forme close montre au passage que tous ces termes sont strictement négatifs : $(u_n)$ est strictement décroissante.

Étape 3 — le lien suite-série. $\sum \left|u_{n+1}-u_n\right|$ est dominée par une série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2}>1$ : elle converge. La série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ est donc absolument convergente, donc convergente ; par le lien suite-série (la suite des sommes partielles de cette série télescopique est $u_{n+1}-u_1$), la suite $(u_n)$ converge. Notons $C$ sa limite. C'est exactement $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}=2\sqrt{n}+C+o(1).$$

Étape 4 — un terme de plus, gratuitement. La méthode livre aussi la vitesse. Comme $C=\lim u_m$, $$C-u_n=\sum _{k\ge n}(u_{k+1}-u_k)\sim \sum _{k\ge n}\left(-\frac{1}{4k^{3/2}}\right)$$ par sommation des relations de comparaison, cas convergent (on somme sur les restes ; la série de référence $\sum k^{-3/2}$ est de signe constant et convergente). Et la comparaison série-intégrale donne ${\sum }_{k\ge n}{k}^{-3/2}\sim {\int }_n^{+\infty }{t}^{-3/2}\mathrm{d}t=\frac{2}{\sqrt{n}}$. Donc $C-u_n\sim -\frac{1}{2\sqrt{n}}$, soit le développement à trois termes $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}=2\sqrt{n}+C+\frac{1}{2\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).$$

Le point délicat. On ne peut pas conclure directement de $S_n\sim 2\sqrt{n}$ que $S_n-2\sqrt{n}$ converge : un équivalent ne contrôle pas la différence. C'est bien le passage aux différences $u_{n+1}-u_n$ — où le terme dominant $\frac{1}{\sqrt{n}}$ s'élimine contre $2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ — qui fait apparaître un $O(n^{-3/2})$ sommable.

Contrôle numérique. La suite $u_n=S_n-2\sqrt{n}$ vaut $-1,3035574$ en $n=10$, $-1,4103962$ en $n=10^2$, $-1,4445444$ en $n=10^3$, $-1,4553545$ en $n=10^4$ et $-1,4598545089$ en $n=10^6$. Elle décroît, comme annoncé. La constante vaut $C=-1,4603545088$ (c'est $\zeta (\frac{1}{2})$, prolongée analytiquement — hors programme, donné pour information). Le développement à trois termes se vérifie remarquablement bien : en $n=10^6$, $$C+\frac{1}{2\sqrt{n}}=-1,4603545088+0,0005000000=-1,4598545088,$$ à comparer à la valeur exacte $u_{10^6}=-1,4598545089$ : les neuf premières décimales coïncident. Enfin le rapport $(u_{n+1}-u_n)n^{3/2}$ vaut $-0,2271$ en $n=10$, $-0,2475$ en $n=10^2$, $-0,24975$ en $n=10^3$ : il converge bien vers $-\frac{1}{4}$.

Acquis. Le schéma « retrancher le terme dominant, puis lien suite-série sur le reste » produit, terme après terme, un développement asymptotique complet ; il ne coûte à chaque fois qu'un développement limité et une série de Riemann convergente.