Sommer les équivalents, et l'hypothèse qu'on oublie

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de sommation des relations de comparaison, dans ses deux versions : cas convergent, on somme sur les restes ; cas divergent, on somme sur les sommes partielles — et, dans les deux cas, la suite de référence doit être de signe constant. Plus la comparaison série-intégrale du chapitre. Le critère spécial des séries alternées, de première année, n'intervient qu'une fois, en question 3.

1) Le cas convergent.

L'équivalent. Le développement $\ln (1+h)=h-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{3}+O(h^4)$ appliqué à $h=\frac{1}{n}$ donne $$u_n=\frac{1}{n}-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\right)=\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{3n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\sim \frac{1}{2n^2}.$$ En particulier $u_n>0$ à partir d'un certain rang : la suite est de signe constant, ce qui autorise la suite.

La nature. $\frac{1}{2n^2}$ est le terme général d'une série de Riemann convergente ($2>1$), donc $\sum u_n$ converge par comparaison de séries à termes positifs.

Le reste. Par sommation des relations de comparaison, cas convergent — la référence $\sum \frac{1}{2k^2}$ est positive et convergente, on somme les restes —, $$R_n=\sum _{k>n}{u}_k\sim \sum _{k>n}\frac{1}{2k^2}=\frac{1}{2}\sum _{k>n}\frac{1}{k^2}.$$ La comparaison série-intégrale donne l'encadrement $${\int }_{n+1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2}\le \sum _{k>n}\frac{1}{k^2}\le {\int }_n^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2},\text{soit}\frac{1}{n+1}\le \sum _{k>n}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{n},$$ dont les deux bornes sont équivalentes à $\frac{1}{n}$. Donc ${\sum }_{k>n}\frac{1}{k^2}\sim \frac{1}{n}$ et $$R_n\sim \frac{1}{2n}.$$

2) Le cas divergent.

La nature de la référence. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t\ln t}$ est positive, continue et décroissante sur $[2,+\infty [$, de primitive $\ln \ln t$. Par comparaison série-intégrale, $$\sum _{k=2}^n\frac{1}{k\ln k}\ge {\int }_2^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t\ln t}=\ln \ln (n+1)-\ln \ln 2⟶+\infty :$$ la série de référence diverge, et elle est à termes positifs.

L'équivalent des sommes partielles de la référence. Le même encadrement, des deux côtés, donne $$\ln \ln (n+1)-\ln \ln 2\le \sum _{k=2}^n\frac{1}{k\ln k}\le \frac{1}{2\ln 2}+\ln \ln n-\ln \ln 2,$$ le terme isolé $\frac{1}{2\ln 2}$ étant le terme $k=2$, qu'aucune intégrale à sa gauche ne majore. Les deux bornes valent $\ln \ln n$ à une constante près, et $\ln \ln n\to +\infty$ : donc ${\sum }_{k=2}^n\frac{1}{k\ln k}\sim \ln \ln n$.

Conclusion. Par sommation des relations de comparaison, cas divergent — la référence est positive et sa série diverge, on somme les sommes partielles —, $S_n\sim {\sum }_{k=2}^n\frac{1}{k\ln k}\sim \ln \ln n$. (Croissance dérisoire : $\ln \ln n$ ne vaut encore que $3$ pour $n=e^{20}\approx 4,85\cdot 10^8$.)

3) L'hypothèse de signe, et ce qu'elle protège.

L'équivalence. $v_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ ne s'annule jamais, et $$\frac{u_n}{v_n}=1+\frac{1/n}{(-1{)}^n/\sqrt{n}}=1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}⟶1,$$ donc $u_n\sim v_n$.

La série de référence converge. $\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ est alternée, et $\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît vers $0$ : le critère spécial des séries alternées, acquis en première année, donne la convergence.

La série des $u_n$ diverge. $u_n=v_n+\frac{1}{n}$. Si $\sum u_n$ convergeait, alors $\sum \left(u_n-v_n\right)=\sum \frac{1}{n}$ convergerait comme différence de deux séries convergentes — ce qui est faux, la série harmonique divergeant. Donc $\sum u_n$ diverge.

Deux suites équivalentes, deux séries de natures différentes : le théorème de sommation des équivalents est en défaut, et ce n'est pas un hasard.

Où sert exactement le signe constant. Écrivons $u_k=v_k(1+{\epsilon }_k)$ avec ${\epsilon }_k\to 0$. Dans le cas convergent, la démonstration du théorème majore la différence des restes par $\left|{\sum }_{k>n}{\epsilon }_k{v}_k\right|\le \left({\sup }_{k>n}|{\epsilon }_k|\right){\sum }_{k>n}|v_k|$, puis compare ${\sum }_{k>n}|v_k|$ au reste $\left|{\sum }_{k>n}{v}_k\right|$. C'est ici, et uniquement ici, que le signe constant intervient : quand $(v_k)$ est de signe constant ces deux quantités sont égales, et la majoration devient un $o$ du reste de référence. Sans signe constant le lien est rompu — ici ${\sum }_{k>n}|v_k|={\sum }_{k>n}\frac{1}{\sqrt{k}}$ diverge, alors que ${\sum }_{k>n}{v}_k$ tend vers $0$ : le facteur de contrôle est infini.

4) Avec un $O$ sans signe : rien, sauf en convergence absolue. Avec $v_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ et $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$, on a $|u_n|=|v_n|$ donc $u_n=O(v_n)$ ; pourtant $\sum v_n$ converge et $\sum u_n$ diverge (Riemann, $\frac{1}{2}\le 1$) : la domination seule ne transmet rien quand la référence n'est pas de signe constant. En revanche, si $\sum |v_n|$ converge, alors $u_n=O(v_n)$ donne $|u_n|\le M|v_n|$ à partir d'un certain rang, donc $\sum u_n$ converge absolument. C'est l'absolue convergence de la référence, et non sa seule convergence, qui rend la domination utilisable.

Ce que l'exercice installe. Les équivalents se somment — côté restes si la série converge, côté sommes partielles si elle diverge — mais la référence doit garder un signe constant, et cette hypothèse n'est pas décorative : l'exemple de la question 3 la met en défaut avec une suite parfaitement banale. Retenir enfin la vraie raison : sommer un équivalent, c'est majorer une somme d'erreurs par la somme des valeurs absolues de la référence, et cette somme n'est comparable au reste que si rien ne se compense.