Sommes partielles d'une série divergente

$t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ décroissante : en sommant les encadrements de rectangles, $${\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}\le S_n\le 1+{\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}},\text{soit}2\sqrt{n+1}-2\le S_n\le 2\sqrt{n}-1.$$ D'où $S_n\sim 2\sqrt{n}$ : la série diverge en racine, et l'on connaît même la constante. (La comparaison série-intégrale est un instrument de mesure, pas seulement un test de nature.)