Sommes partielles d'une série divergente

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (MP/MPI), chapitre 5 — Séries numériques et vectorielles · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Donner un équivalent de $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ , puis l'encadrement explicite correspondant.

Corrigé

$t \mapsto \frac{1}{t}$ décroissante : en sommant les encadrements de rectangles, $\int_{1}^{n + 1} \frac{d t}{t} \leq S_{n} \leq 1 + \int_{1}^{n} \frac{d t}{t}, soit 2 n + 1 - 2 \leq S_{n} \leq 2 n - 1.$ D'où $S_{n} \sim 2 n$ : la série diverge en racine, et l'on connaît même la constante. (La comparaison série-intégrale est un instrument de mesure, pas seulement un test de nature.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.