Suite récurrente u_n+1=u_n+1/u_n : équivalent √2n

Stratégie. On ne saura jamais calculer $u_n$. En revanche, la récurrence devient presque affine si on la lit sur les carrés : $u_{n+1}^2-u_n^2$ tend vers une constante non nulle. Le théorème de Cesàro (ou, ce qui revient au même, la sommation d'un télescopage) transforme alors cette information sur les accroissements en une information sur $u_n^2$ lui-même.

Étape 1 — la suite est bien définie, positive et croissante. $u_0>0$ ; si $u_n>0$ alors $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ est défini et $>0$. Par récurrence, $(u_n)$ est définie et strictement positive. De plus $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}>0:$$ la suite est strictement croissante.

Étape 2 — elle tend vers $+\infty$. Étant croissante, $(u_n)$ admet une limite $\ell \in ]u_0,+\infty ]$. Supposons $\ell$ finie ; alors $\ell \ge u_0>0$, et la fonction $x\mapsto x+\frac{1}{x}$ est continue en $\ell$. Le passage à la limite dans la récurrence donne $\ell =\ell +\frac{1}{\ell }$, soit $\frac{1}{\ell }=0$ : impossible. Donc $$u_n⟶+\infty .$$

Étape 3 — la récurrence sur les carrés. En élevant au carré : $$u_{n+1}^2={\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)}^2=u_n^2+2+\frac{1}{u_n^2},\text{donc}{u}_{n+1}^2-u_n^2=2+\frac{1}{u_n^2}.$$ Comme $u_n\to +\infty$, on a $\frac{1}{u_n^2}\to 0$ et donc $$u_{n+1}^2-u_n^2⟶2.$$

Étape 4 — Cesàro. Posons $v_n=u_n^2$. La suite $(v_{n+1}-v_n)$ converge vers $2$ ; le théorème de Cesàro appliqué à cette suite dit que la moyenne de ses $n$ premiers termes converge vers $2$. Or cette moyenne se télescope : $$\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}(v_{k+1}-v_k)=\frac{v_n-v_0}{n}.$$ Donc $\frac{v_n-v_0}{n}\to 2$, et comme $\frac{v_0}{n}\to 0$ : $$\frac{u_n^2}{n}⟶2,\text{c’est-aˋ-dire}{u}_n^2\sim 2n.$$ Enfin $u_n>0$, et $x\mapsto \sqrt{x}$ est compatible avec les équivalents de suites positives : $$\boxed{u_n\sim \sqrt{2n}.}$$

Le point délicat — pourquoi les carrés. Appliquer Cesàro directement à $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}$ ne donnerait que $\frac{u_n}{n}\to 0$ : vrai, mais vide. Toute l'astuce est que l'élévation au carré transforme un accroissement qui tend vers $0$ en un accroissement qui tend vers $2\ne 0$, seul cas où Cesàro produit un équivalent.

Un terme de plus. En sommant l'étape 3 : $$u_n^2=u_0^2+2n+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{u_k^2}.$$ Or $\frac{1}{u_k^2}\sim \frac{1}{2k}$, série de signe constant divergente : la sommation des relations de comparaison, cas divergent, donne ${\sum }_{k<n}\frac{1}{u_k^2}\sim \frac{1}{2}\ln n$. Donc $$u_n^2=2n+\frac{\ln n}{2}+o(\ln n).$$ L'expérience numérique suggère même un $O(1)$ à la place du $o(\ln n)$ — voir le contrôle ci-dessous — mais ce raffinement-là n'est pas démontré ici.

Contrôle numérique. Pour $u_0=1$ :

$n$	$u_n$	$\sqrt{2n}$	$u_n/\sqrt{2n}$	$u_n^2-2n-\frac{1}{2}\ln n$
$10^2$	$14,284064$	$14,142136$	$1,010036$	$1,73190$
$10^4$	$141,443729$	$141,421356$	$1,000158$	$1,72329$
$10^6$	$1414,216614$	$1414,213562$	$1,0000022$	$1,72314$

Le rapport tend bien vers $1$. La dernière colonne se stabilise, ce qui confirme le développement $u_n^2=2n+\frac{1}{2}\ln n+O(1)$ ; la constante dépend de $u_0$ (elle vaut $3,72314$ pour $u_0=\frac{1}{2}$ et $8,27709$ pour $u_0=3$), alors que l'équivalent $\sqrt{2n}$, lui, n'en dépend pas : le premier terme oublie la condition initiale, le troisième s'en souvient.

Acquis. Le schéma « transformer la suite pour que ses accroissements convergent vers une limite non nulle, puis Cesàro » traite toutes les récurrences $u_{n+1}=u_n+\phi (u_n)$ à croissance lente. La transformation à trouver est celle qui rend $\phi$ constant à la limite ; ici c'est le carré.