mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Une convergence arbitrairement lente

Séries numériques et vectorielles · B. Comparaison série-intégrale · niveau 2

Énoncé

1) Montrer que $n \geq 2 \sum \frac{1}{n ln ^{2} n}$ converge, en la comparant à $\int \frac{d t}{t ln ^{2} t}$ , dont une primitive est $- \frac{1}{l n t}$ .

2) Encadrer le reste $R_{n} = \sum_{k > n} \frac{1}{k l n ^{2} k}$ par deux intégrales et en déduire $R_{n} \sim \frac{1}{ln n}$ .

3) Combien faut-il de termes pour approcher la somme à $1 0^{- 2}$ près ? Comparer avec $\sum \frac{1}{k ^{2}}$ , dont le reste vérifie $R_{n} \sim \frac{1}{n}$ .

4) Montrer que pour tout $β > 1$ la série $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n l n ^{β} n}$ converge, et qu'elle diverge pour $β \leq 1$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Un seul outil, appliqué trois fois : la comparaison série-intégrale. On vérifie que la fonction est positive, continue et décroissante — c'est l'hypothèse, et il faut la dire —, puis on encadre chaque terme par deux intégrales sur des intervalles adjacents, et l'on somme. Le même encadrement décide de la nature en question 1 et donne la vitesse en question 2 : c'est tout l'intérêt de la méthode.

1) La convergence. Posons $f (t) = \frac{1}{t ln ^{2} t}$ sur $[2, + \infty [$ : elle y est positive, continue et décroissante, car $t$ et $ln t$ y sont croissants et strictement positifs ( $ln 2 > 0$ ). La décroissance donne, pour $k \geq 3$ et $t \in [k - 1, k]$ , l'inégalité $f (k) \leq f (t)$ , donc $f (k) \leq \int_{k - 1}^{k} f$ . En sommant de $k = 3$ à $N$ et en recollant par Chasles : $k = 3 \sum N \frac{1}{k ln ^{2} k} \leq \int_{2}^{N} \frac{d t}{t ln ^{2} t} = [- \frac{1}{ln t}]_{2}^{N} = \frac{1}{ln 2} - \frac{1}{ln N} \leq \frac{1}{ln 2} .$ Les sommes partielles d'une série à termes positifs sont croissantes et ici majorées : la série converge.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Encadrer le reste $R_{n} = \sum_{k > n} \frac{1}{k l n ^{2} k}$ par deux intégrales et en déduire $R_{n} \sim \frac{1}{ln n}$ .

Élève

Je sais encadrer une somme partielle par comparaison série-intégrale. Mais pour le reste $R_{n}$ , la somme est infinie : a-t-on le droit de sommer les encadrements jusqu'à l'infini ?

Bonne question. Que faut-il pour qu'une inégalité vraie terme à terme passe à la somme infinie ? Ici, les séries et les intégrales concernées convergent-elles ?

Élève

La série converge par le 1), et les intégrales $\int_{n}^{+ \infty} f$ aussi, grâce à la primitive $- \frac{1}{l n t}$ . Donc je peux sommer jusqu'à un rang $N$ , puis faire tendre $N$ vers l'infini.

Quel encadrement de $f (k)$ par deux intégrales sur des intervalles adjacents vas-tu sommer pour $k > n$ , et quelles bornes obtiens-tu pour $R_{n}$ ? Ces deux bornes sont-elles équivalentes entre elles quand $n \to + \infty$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →