Calculs de rayons

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (MP/MPI), chapitre 6 — Suites et séries de fonctions, séries entières · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Déterminer le rayon de convergence de : $\sum n^{2} z^{n}$ , $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ , $\sum n! z^{n}$ , $\sum 2^{n} z^{2 n}$ .

Corrigé

d'Alembert : $\frac{( n + 1 ) ^{2}}{n ^{2}} \to 1$ , donc $R = 1$ ; $\frac{1/ ( n + 1 )!}{1/ n !} = \frac{1}{n + 1} \to 0$ , donc $R = + \infty$ ; $\frac{( n + 1 )!}{n !} = n + 1 \to \infty$ , donc $R = 0$ (ne converge qu'en $0$ ).

Pour la série lacunaire $\sum 2^{n} z^{2 n}$ (un terme sur deux), d'Alembert sur les coefficients est piégeux : on raisonne directement — $∣ 2^{n} z^{2 n} ∣ = (2∣ z ∣^{2})^{n}$ , géométrique de raison $2∣ z ∣^{2}$ , convergente si et seulement si $∣ z ∣ < \frac{1}{2}$ : $R = \frac{1}{2}$ . (Pour les lacunaires : revenir à la définition ou à la géométrique.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.