Calculs de rayons

d'Alembert : $\frac{(n+1{)}^2}{n^2}\to 1$, donc $R=1$ ; $\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\frac{1}{n+1}\to 0$, donc $R=+\infty$ ; $\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\to \infty$, donc $R=0$ (ne converge qu'en $0$).

Pour la série lacunaire $\sum 2^n{z}^{2n}$ (un terme sur deux), d'Alembert sur les coefficients est piégeux : on raisonne directement — $|2^n{z}^{2n}|=(2|z{|}^2{)}^n$, géométrique de raison $2|z{|}^2$, convergente si et seulement si $|z|<\frac{1}{\sqrt{2}}$ : $R=\frac{1}{\sqrt{2}}$. (Pour les lacunaires : revenir à la définition ou à la géométrique.)