Dérivation terme à terme, et comportement au bord

La stratégie. C'est le mode opératoire complet : construire une fonction par une série, établir sa régularité par dérivation terme à terme, l'identifier par ses limites, puis décrire son explosion au bord. Le point de méthode est que l'hypothèse du théorème de dérivation porte sur la série dérivée, jamais sur la série elle-même.

1) Les convergences. Posons $u_n(x)=\frac{e^{-nx}}{n}$, continue et strictement positive sur $]0,+\infty [$.

Normale sur $[a,+\infty [$, $a>0$. Pour $x\ge a$, $e^{-nx}\le e^{-na}$, donc $\Vert u_n{\Vert }_{\infty ,[a,+\infty [}=\frac{e^{-na}}{n}\le e^{-na}={\left(e^{-a}\right)}^n$, terme général d'une série géométrique de raison $e^{-a}\in ]0,1[$, donc convergente. La convergence est normale sur $[a,+\infty [$ ; en particulier elle est simple en tout point de $]0,+\infty [$.

Pas normale sur $]0,+\infty [$. ${\sup }_{x>0}\frac{e^{-nx}}{n}=\frac{1}{n}$ (limite en $0^{+}$), et $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

2) La classe ${\mathcal{C}}^1$. La série dérivée est $\sum u_n^{\prime }$ avec $u_n^{\prime }(x)=-e^{-nx}$. Sur $[a,+\infty [$ avec $a>0$, $${\Vert u_n^{\prime }\Vert }_{\infty ,[a,+\infty [}=e^{-na}={\left(e^{-a}\right)}^n,$$ terme général d'une série géométrique convergente : la série dérivée converge normalement sur $[a,+\infty [$, donc uniformément. Comme de plus $\sum u_n$ converge simplement sur $[a,+\infty [$ et que chaque $u_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, le théorème de dérivation terme à terme s'applique : $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,+\infty [$, pour tout $a>0$, donc sur $]0,+\infty [$, et $$F^{\prime }(x)=-\sum _{n\ge 1}{e}^{-nx}=-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=-\frac{1}{e^x-1},$$ la somme géométrique de raison $e^{-x}\in ]0,1[$ et de premier terme $e^{-x}$ valant $\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$, et la dernière égalité s'obtenant en multipliant numérateur et dénominateur par $e^x$.

3) La forme close. Posons $G(x)=-\ln \left(1-e^{-x}\right)$, définie sur $]0,+\infty [$ puisque $0<1-e^{-x}<1$. Elle est dérivable, de dérivée $$G^{\prime }(x)=-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=-\frac{1}{e^x-1}=F^{\prime }(x).$$ Donc $F-G$ est constante sur l'intervalle $]0,+\infty [$. Pour identifier la constante, faisons tendre $x$ vers $+\infty$ :

• $F(x)\to 0$ : la convergence est normale sur $[1,+\infty [$ et chaque terme $\frac{e^{-nx}}{n}$ tend vers $0$, donc le théorème de la double limite donne ${\lim }_{+\infty }F={\sum }_{n}0=0$ ;
• $G(x)=-\ln \left(1-e^{-x}\right)\to -\ln 1=0$.

La constante est donc nulle, et $$F(x)=-\ln \left(1-e^{-x}\right)\text{pour tout }x>0.$$

4) Le comportement en $0^{+}$.

Voie 1 — somme exacte puis développement limité. $S(x)={\sum }_{n\ge 1}{e}^{-nx}$ est géométrique de raison $q=e^{-x}\in ]0,1[$ et de premier terme $q$, donc $$S(x)=\frac{q}{1-q}=\frac{1}{e^x-1}.$$ Quand $x\to 0^{+}$, $e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)=x\left(1+\frac{x}{2}+O(x^2)\right)$, donc $$S(x)=\frac{1}{x}{\left(1+\frac{x}{2}+O(x^2)\right)}^{-1}=\frac{1}{x}\left(1-\frac{x}{2}+O(x^2)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+O(x).$$ En particulier $xS(x)\to 1$, c'est-à-dire $S(x)\sim \frac{1}{x}$.

Voie 2 — comparaison série-intégrale. Fixons $x>0$ et posons $h(t)=e^{-tx}$, positive, continue et décroissante sur $[0,+\infty [$. La décroissance donne, pour $n\ge 1$, $${\int }_n^{n+1}h(t)\mathrm{d}t\le h(n)=e^{-nx}\le {\int }_{n-1}^{n}h(t)\mathrm{d}t.$$ En sommant sur $n\ge 1$ et en recollant par Chasles : $${\int }_1^{+\infty }{e}^{-tx}\mathrm{d}t\le S(x)\le {\int }_0^{+\infty }{e}^{-tx}\mathrm{d}t,\text{soit}\frac{e^{-x}}{x}\le S(x)\le \frac{1}{x}.$$ En multipliant par $x>0$ : $e^{-x}\le xS(x)\le 1$. Comme $e^{-x}\to 1$ quand $x\to 0^{+}$, le théorème d'encadrement donne $xS(x)\to 1$, donc $S(x)\sim \frac{1}{x}$.

Lequel vaut mieux. La voie 1 donne davantage — le terme $-\frac{1}{2}$ — mais exige que la somme se calcule. La voie 2 ne demande que la monotonie et s'applique telle quelle à $\sum n^{-s}$ quand $s\to 1^{+}$, où aucune forme close n'existe (exercice 3) ; en revanche son encadrement est trop lâche pour attraper le $-\frac{1}{2}$.

Retour à $F$. De la forme close, $F(x)=-\ln \left(1-e^{-x}\right)$ avec $1-e^{-x}\sim x$ quand $x\to 0^{+}$, donc $$F(x){\sim }_{x\to 0^{+}}-\ln x⟶+\infty .$$ La fonction explose au bord, mais logarithmiquement — beaucoup plus lentement que sa dérivée, qui explose en $-\frac{1}{x}$.

Contrôle numérique. Pour $x=10^{-1}$ : $S(x)=\frac{1}{e^{0,1}-1}=9,5083$, contre $\frac{1}{x}=10$ et $\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=9,5$. Pour $x=10^{-2}$ : $S(x)=99,5008$, contre $100$ et $99,5$. L'équivalent seul commet déjà $5\%$ d'erreur en $x=0,1$, là où le développement à deux termes tombe à $8\cdot 10^{-4}$ près.

5) Le théorème, et l'endroit où porte son hypothèse. Soit $(u_n)$ une suite de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un intervalle $I$. Si $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ et si $\sum u_n^{\prime }$ converge uniformément sur tout segment de $I$, alors la somme $F=\sum u_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et $F^{\prime }=\sum u_n^{\prime }$.

L'hypothèse forte porte sur la série dérivée, pas sur la série. Pour la série elle-même, la convergence simple suffit. La raison est que la dérivation est une opération instable : une perturbation uniformément petite peut avoir une dérivée énorme, comme $\frac{\sin (n^{2}x)}{n}$, qui tend uniformément vers $0$ alors que sa dérivée $n\cos (n^{2}x)$ explose.

Ce que l'exercice installe. Le mode opératoire complet : construire par une série, régulariser par dérivation terme à terme, identifier par les limites aux bords, décrire l'explosion. Et la règle qui gouverne la dérivation : c'est l'uniformité de la série dérivée qui autorise l'échange, jamais celle de la série.