Deux séries de fonctions, deux régimes : normale ou seulement uniforme

La stratégie. La convergence normale est le premier critère : elle se vérifie sans calcul de reste, et elle entraîne l'uniforme. Mais elle est parfois fausse alors que l'uniforme tient — et c'est le territoire des séries alternées, où l'on majore directement le reste. Les deux exemples sont choisis pour illustrer les deux régimes ; dans le premier, une inégalité bien placée rend normale une série qui semblait ne l'être que localement.

1) La convergence normale sur la droite entière. Posons $f_n(x)=\frac{x}{n\left(1+n{x}^2\right)}$. Le dénominateur vaut au moins $n\ge 1>0$ : chaque $f_n$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ (fraction rationnelle sans pôle réel), et impaire.

La majoration. L'inégalité arithmético-géométrique $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, appliquée aux réels positifs $a=1$ et $b=n{x}^2$, donne $$1+n{x}^2\ge 2\sqrt{n{x}^2}=2\sqrt{n}|x|.$$ Donc, pour $x\ne 0$, $$|f_n(x)|=\frac{|x|}{n\left(1+n{x}^2\right)}\le \frac{|x|}{n\cdot 2\sqrt{n}|x|}=\frac{1}{2n^{3/2}},$$ et la majoration reste vraie en $x=0$ puisque $f_n(0)=0$. Le majorant ne dépend pas de $x$ : c'est une majoration sur $\mathbb{R}$ tout entier.

C'est même une égalité. L'inégalité arithmético-géométrique est une égalité lorsque $a=b$, c'est-à-dire $n{x}^2=1$, soit $x=\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$. En ces points $1+n{x}^2=2$ et $$\left|f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right|=\frac{1/\sqrt{n}}{2n}=\frac{1}{2n^{3/2}},\text{donc}\Vert f_n{\Vert }_{\infty ,\mathbb{R}}=\frac{1}{2n^{3/2}}.$$

Conclusion. $\sum \frac{1}{2n^{3/2}}$ est une série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2}>1$, donc convergente : la série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$.