Deux séries de fonctions, deux régimes : normale ou seulement uniforme

La stratégie. La convergence normale est le premier critère : elle se vérifie sans calcul de reste, et elle entraîne l'uniforme. Mais elle est parfois fausse alors que l'uniforme tient — et c'est le territoire des séries alternées, où l'on majore directement le reste. Les deux exemples sont choisis pour illustrer les deux régimes ; dans le premier, une inégalité bien placée rend normale une série qui semblait ne l'être que localement.

1) La convergence normale sur la droite entière. Posons $f_n(x)=\frac{x}{n\left(1+n{x}^2\right)}$. Le dénominateur vaut au moins $n\ge 1>0$ : chaque $f_n$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ (fraction rationnelle sans pôle réel), et impaire.

La majoration. L'inégalité arithmético-géométrique $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, appliquée aux réels positifs $a=1$ et $b=n{x}^2$, donne $$1+n{x}^2\ge 2\sqrt{n{x}^2}=2\sqrt{n}|x|.$$ Donc, pour $x\ne 0$, $$|f_n(x)|=\frac{|x|}{n\left(1+n{x}^2\right)}\le \frac{|x|}{n\cdot 2\sqrt{n}|x|}=\frac{1}{2n^{3/2}},$$ et la majoration reste vraie en $x=0$ puisque $f_n(0)=0$. Le majorant ne dépend pas de $x$ : c'est une majoration sur $\mathbb{R}$ tout entier.

C'est même une égalité. L'inégalité arithmético-géométrique est une égalité lorsque $a=b$, c'est-à-dire $n{x}^2=1$, soit $x=\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$. En ces points $1+n{x}^2=2$ et $$\left|f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right|=\frac{1/\sqrt{n}}{2n}=\frac{1}{2n^{3/2}},\text{donc}\Vert f_n{\Vert }_{\infty ,\mathbb{R}}=\frac{1}{2n^{3/2}}.$$

Conclusion. $\sum \frac{1}{2n^{3/2}}$ est une série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2}>1$, donc convergente : la série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$.

2) La somme. La convergence normale entraîne la convergence uniforme, donc la convergence simple : $f(x)={\sum }_{n\ge 1}{f}_n(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Et chaque $f_n$ étant continue sur $\mathbb{R}$ avec convergence uniforme sur $\mathbb{R}$, le théorème de continuité de la somme donne : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Deux valeurs exactes, par télescopage. $$f(1)=\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n(1+n)}=\sum _{n\ge 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1,$$ la somme partielle valant $1-\frac{1}{N+1}$. $$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sum _{n\ge 1}\frac{1/2}{n\left(1+\frac{n}{4}\right)}=\sum _{n\ge 1}\frac{2}{n(n+4)}=\frac{1}{2}\sum _{n\ge 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+4}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{12}=\frac{25}{24},$$ le télescopage par blocs de quatre ne laissant que les quatre premiers termes. Numériquement $\frac{25}{24}=1,041\overline{6}$.

3) Uniforme sans être normale. Posons $g_n(x)=\frac{(-1{)}^n}{n+x}$ pour $n\ge 1$ et $x\ge 0$.

Pas normale. $\Vert g_n{\Vert }_{\infty ,[0,+\infty [}={\sup }_{x\ge 0}\frac{1}{n+x}=\frac{1}{n}$, atteint en $x=0$. Or $\sum \frac{1}{n}$ diverge : pas de convergence normale.

Uniforme quand même. Fixons $x\ge 0$. La suite ${\left(\frac{1}{n+x}\right)}_{n\ge 1}$ est positive, décroissante et de limite nulle : le critère spécial des séries alternées (première année) s'applique, la série converge, et son reste est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé : $$\left|R_N(x)\right|=\left|\sum _{n>N}\frac{(-1{)}^n}{n+x}\right|\le \frac{1}{N+1+x}\le \frac{1}{N+1}.$$ Le majorant final ne dépend pas de $x$, donc $$\underset{x\ge 0}{\sup }\left|R_N(x)\right|\le \frac{1}{N+1}⟶0:$$ la convergence est uniforme sur $[0,+\infty [$. La somme est donc continue sur $[0,+\infty [$, chaque $g_n$ l'étant.

4) Ce que chacune donne. La convergence normale entraîne la convergence uniforme, qui entraîne la convergence simple ; les réciproques sont fausses, et la question 3 en donne le contre-exemple. L'intérêt pratique de la normale est qu'elle se vérifie sans jamais manipuler de reste : on majore chaque fonction par une constante et on somme. C'est donc le premier critère à essayer.

Mais elle n'est qu'un critère suffisant, et elle échoue structurellement quand la convergence repose sur des compensations de signes : la normale oublie les signes, puisqu'elle majore en valeur absolue. Les séries alternées vivent précisément hors de son domaine, et il faut alors revenir à la définition, c'est-à-dire majorer ${\sup }_x|R_N(x)|$ — ce que le critère spécial des séries alternées fait gratuitement, en offrant une majoration du reste par le premier terme négligé.

Le point délicat de la question 1. Les deux majorations naïves sont inutilisables. Jeter le terme $n{x}^2$ donne $|f_n(x)|\le \frac{|x|}{n}$, dont le supremum sur un segment $[-A,A]$ vaut $\frac{A}{n}$ : terme général d'une série divergente, et l'on ne prouve même pas la convergence normale sur un segment. Jeter le $1$ donne $|f_n(x)|\le \frac{1}{n^2|x|}$, excellent loin de $0$ mais explosif en $0$. Le maximum se trouve exactement entre ces deux régimes, en $x=\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$, et c'est l'inégalité arithmético-géométrique qui concilie les deux en une seule majoration.

Ce que l'exercice installe. « Convergence normale sur tout segment » n'est pas une fatalité : avant de restreindre, il faut chercher si le maximum de $|f_n|$ sur le domaine entier est sommable. Ici il l'est, parce que ce maximum se déplace vers $0$ tout en décroissant en $n^{-3/2}$. Et quand la normale échoue, il reste les restes — c'est le second réflexe du chapitre.