mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Développable, ou seulement de classe $C^{\infty}$ ?

Suites et séries de fonctions, séries entières · D. Développements en série entière · niveau 3 (difficile)

Énoncé

A. La méthode. Soit $α \in R$ et $f (x) = (1 + x)^{α}$ sur $] - 1, 1 [$ .

1) Vérifier que $f$ est l'unique solution sur $] - 1, 1 [$ du problème de Cauchy $(1 + x) y^{'} = α y$ , $y (0) = 1$ .

2) Chercher une solution en série entière $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon $R > 0$ : établir $(n + 1) a_{n + 1} = (α - n) a_{n}$ , en déduire les $a_{n}$ et le rayon.

3) Conclure par unicité, et donner le développement pour $α = \frac{1}{2}$ puis pour $α = - \frac{1}{2}$ .

B. L'obstruction. Soit $g (x) = e^{- 1/ x^{2}}$ pour $x \neq = 0$ , prolongée par $g (0) = 0$ .

4) Montrer que $g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et que $g^{(n)} (0) = 0$ pour tout $n$ .

5) En déduire que $g$ n'est pas développable en série entière en $0$ .

6) Énoncer et démontrer le critère qui sauve l'exponentielle, le cosinus et le sinus : si toutes les dérivées de $f$ sont majorées sur $R$ par une même constante $M$ , alors $f$ est somme de sa série de Taylor. La réciproque est-elle vraie ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Être de classe $C^{\infty}$ ne suffit pas à être développable : la série de Taylor peut converger vers autre chose. Ce qui décide, c'est le contrôle du reste de Taylor. Et quand on ne sait pas calculer les dérivées, on fait vérifier à $f$ une équation différentielle linéaire, on cherche une solution en série entière, et l'unicité du problème de Cauchy conclut — c'est la méthode que le programme exige de savoir mettre en œuvre.

1) Le problème de Cauchy. $f (x) = (1 + x)^{α} = e^{α l n (1 + x)}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] - 1, 1 [$ , de dérivée $α (1 + x)^{α - 1}$ , donc $(1 + x) f^{'} = α (1 + x)^{α} = α f$ et $f (0) = 1$ . Unicité : l'équation s'écrit $y^{'} = \frac{α}{1 + x} y$ , linéaire du premier ordre à coefficient continu sur $] - 1, 1 [$ , donc la solution valant $1$ en $0$ est unique (théorème de Cauchy linéaire, première année). (Directement : si $y$ est solution, la dérivée de $y (x) (1 + x)^{- α}$ vaut $[y^{'} (1 + x) - α y] (1 + x)^{- α - 1} = 0$ , donc ce quotient est constant, égal à $1$ .)

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Chercher une solution en série entière $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon $R > 0$ : établir $(n + 1) a_{n + 1} = (α - n) a_{n}$ , en déduire les $a_{n}$ et le rayon.

Élève

Je remplace $y$ par sa série dans $(1 + x) y^{'} = α y$ , mais les termes $y^{'}$ et $x y^{'}$ ne sont pas indexés de la même façon, et je n'arrive pas à identifier proprement les coefficients.

Réindexe chaque somme pour l'écrire sous la forme $\sum_{n \geq 0} c_{n} x^{n}$ . Pour $y^{'}$ , quel décalage d'indice faut-il faire ? Et dans $x y^{'} = \sum n a_{n} x^{n}$ , que devient le terme d'indice $0$ ?

Élève

$y^{'} = \sum_{n \geq 0} (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$ , et $x y^{'}$ peut commencer à $n = 0$ puisque ce terme est nul. L'unicité des coefficients donne alors la relation, et avec $a_{0} = 1$ je calcule les $a_{n}$ de proche en proche.

Pour le rayon, la règle de d'Alembert demande des $a_{n}$ tous non nuls : est-ce toujours le cas ici ? Selon la valeur de $α$ , quel rayon obtiens-tu, et vérifie-t-il bien $R > 0$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Développable, ou seulement de classe C∞ ?

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

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