Équivalent en 0^+ de Σ_n≥1 e^-nx

Stratégie. Deux voies mènent au résultat, et elles méritent d'être parcourues toutes les deux : la voie exacte (la série est géométrique, on la somme et on développe), qui livre le développement asymptotique complet ; et la voie robuste (comparaison série-intégrale), qui ne demande que la monotonie et survit donc quand la somme ne se calcule pas.

Cadre. Pour $x>0$, posons $S(x)={\sum }_{n\ge 1}{e}^{-nx}$. Comme $0<e^{-x}<1$, la série est géométrique convergente : $S$ est bien définie sur $]0,+\infty [$.

Voie 1 — somme exacte puis développement limité. De raison $q=e^{-x}\in ]0,1[$ et de premier terme $q$ : $$S(x)=\frac{q}{1-q}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{1}{e^x-1}.$$ Quand $x\to 0^{+}$, $e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)=x\left(1+\frac{x}{2}+O(x^2)\right)$, donc $$S(x)=\frac{1}{x}{\left(1+\frac{x}{2}+O(x^2)\right)}^{-1}=\frac{1}{x}\left(1-\frac{x}{2}+O(x^2)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+O(x).$$ En particulier $xS(x)\to 1$, c'est-à-dire $$\boxed{S(x)\underset{x\to 0^{+}}{\sim }\frac{1}{x}.}$$

Voie 2 — comparaison série-intégrale. Fixons $x>0$ et posons $f(t)=e^{-tx}$, positive, continue et décroissante sur $[0,+\infty [$. La décroissance donne, pour $n\ge 1$ et $t$ dans les intervalles indiqués, $${\int }_n^{n+1}f(t)\mathrm{d}t\le f(n)=e^{-nx}\le {\int }_{n-1}^{n}f(t)\mathrm{d}t.$$ Toutes ces quantités étant positives et les intégrales convergentes, on somme sur $n\ge 1$ (relation de Chasles sur des intervalles adjacents) : $${\int }_1^{+\infty }{e}^{-tx}\mathrm{d}t\le S(x)\le {\int }_0^{+\infty }{e}^{-tx}\mathrm{d}t,\text{soit}\frac{e^{-x}}{x}\le S(x)\le \frac{1}{x}.$$ En multipliant par $x>0$ : $e^{-x}\le xS(x)\le 1$. Comme $e^{-x}\to 1$ quand $x\to 0^{+}$, le théorème d'encadrement donne $xS(x)\to 1$, donc $S(x)\sim \frac{1}{x}$.

Le point délicat. L'équivalent n'est pas obtenu en « remplaçant la somme par l'intégrale » : c'est un double encadrement, et il repose uniquement sur la monotonie de $t\mapsto e^{-tx}$. C'est ce qui fait sa force : la voie 2 s'applique telle quelle à $\sum n^{-s}$ quand $s\to 1^{+}$, où aucune somme close n'existe. En revanche elle ne donne pas le terme suivant : ici l'encadrement ne dit que $\frac{1}{x}-1+O(x)\le S(x)\le \frac{1}{x}$, ce qui est trop lâche pour attraper le $-\frac{1}{2}$.

Interprétation. $S(x)$ est une somme de Riemann de pas $x$ pour ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-u}\mathrm{d}u=1$ : en effet $xS(x)={\sum }_{n\ge 1}x{e}^{-nx}$, somme des aires des rectangles de largeur $x$ et de hauteur $e^{-nx}$ sous la courbe de $e^{-u}$. Quand le pas $x$ tend vers $0$, cette somme tend vers l'intégrale, qui vaut $1$ : la série « voit » l'intégrale, et le facteur $\frac{1}{x}$ est simplement l'inverse du pas.

Contrôle numérique.

$x$	$S(x)=\frac{1}{e^x-1}$	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$	encadrement $\frac{e^{-x}}{x}\le S\le \frac{1}{x}$
$10^{-1}$	$9,5083319$	$10$	$9,5$	$9,04837\le 9,50833\le 10$
$10^{-2}$	$99,5008333$	$100$	$99,5$	$99,00498\le 99,50083\le 100$
$10^{-3}$	$999,5000833$	$1000$	$999,5$	vérifié

Le rapport $xS(x)$ vaut $0,95083$ ; $0,99501$ ; $0,99950$ : il tend bien vers $1$, en $1-\frac{x}{2}+O(x^2)$. Et l'écart $S(x)-\frac{1}{x}$ vaut $-0,49167$ ; $-0,49917$ ; $-0,49992$ : il tend vers $-\frac{1}{2}$, comme annoncé par la voie 1. Noter enfin que l'équivalent seul est trompeusement optimiste : en $x=10^{-1}$, $\frac{1}{x}=10$ commet déjà une erreur relative de $5\%$, alors que le développement à deux termes $\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=9,5$ tombe à $8\cdot 10^{-4}$ près.