La bosse glissante

La stratégie. C'est le contre-exemple à méditer avant tout échange entre limite et intégrale. On établit d'abord les deux faits contradictoires — limite simple nulle, intégrales de limite non nulle —, puis on en tire la conclusion sur l'uniformité par contraposée du théorème d'intégration, et enfin on vérifie directement, en calculant le supremum, que la convergence n'est effectivement pas uniforme.

1) La convergence simple. En $x=0$ : $u_n(0)=0$ pour tout $n$. Pour $x\in ]0,1]$ : posons $q=1-x\in [0,1[$. Alors $u_n(x)=n^{2}x{q}^n$, et $n^2{q}^n\to 0$ — l'exponentielle géométrique écrase la croissance polynomiale dès que $|q|<1$. Donc $u_n(x)\to 0$ pour tout $x\in [0,1]$ : la limite simple est la fonction nulle.

2) L'intégrale. Le changement de variable affine $t=1-x$, avec $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$ et des bornes échangées, donne $${\int }_0^1{n}^{2}x(1-x{)}^n\mathrm{d}x=n^2{\int }_0^1(1-t)t^n\mathrm{d}t=n^2\left({\int }_0^1{t}^n\mathrm{d}t-{\int }_0^1{t}^{n+1}\mathrm{d}t\right)=n^2\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right).$$ Or $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$, donc $${\int }_0^1{u}_n=\frac{n^2}{(n+1)(n+2)}⟶1\ne 0={\int }_0^1\lim u_n.$$

3) Conclusion, et localisation de la bosse.

Par contraposée. Si la convergence était uniforme sur le segment $[0,1]$, le théorème d'intégration d'une limite uniforme sur un segment s'appliquerait et donnerait ${\int }_0^1{u}_n\to {\int }_0^{1}u=0$. Ce n'est pas le cas : la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.

Le calcul direct. Dérivons : $u_n^{\prime }(x)=n^2\left[(1-x{)}^n-nx(1-x{)}^{n-1}\right]=n^2(1-x{)}^{n-1}\left[(1-x)-nx\right]=n^2(1-x{)}^{n-1}\left(1-(n+1)x\right)$. Sur $[0,1[$, le facteur $(1-x{)}^{n-1}$ est strictement positif, donc $u_n^{\prime }$ s'annule en changeant de signe au seul point $$x_n=\frac{1}{n+1},$$ où $u_n$ atteint son maximum. Sa valeur : $$\Vert u_n{\Vert }_{\infty }=u_n(x_n)=n^2\cdot \frac{1}{n+1}\cdot {\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}^n=\frac{n^2}{n+1}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\frac{n^2}{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-n}.$$ Comme ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-n}\to e^{-1}$ et $\frac{n^2}{n+1}\sim n$, il vient $$\Vert u_n{\Vert }_{\infty }\sim \frac{n}{e}⟶+\infty .$$ Non seulement la convergence n'est pas uniforme, mais l'écart au sup explose. Le critère séquentiel de l'exercice 1 le redonne d'un trait : $x_n=\frac{1}{n+1}\to 0$ et $u_n(x_n)\sim \frac{n}{e}\to +\infty$, alors que $u(0)=0$.

Où passe la masse. La bosse a une hauteur de l'ordre de $n$, elle est située en $x\approx \frac{1}{n}$ et sa largeur est de l'ordre de $\frac{1}{n}$ : son aire reste donc de l'ordre de $1$, et elle glisse vers $0$ sans jamais s'aplatir. La convergence simple ne voit rien de cette masse, parce qu'en chaque point fixé la bosse finit par passer à côté.

4) Le théorème et son hypothèse. Si $(u_n)$ est une suite de fonctions continues sur un segment $[a,b]$ convergeant uniformément vers $u$, alors $u$ est continue et ${\int }_a^b{u}_n\to {\int }_a^{b}u$. L'hypothèse d'uniformité empêche exactement la fuite qu'on vient d'observer : elle interdit à $u_n-u$ d'avoir, si loin soit-on dans la suite, une bosse de hauteur non négligeable. Et l'hypothèse de segment n'est pas décorative non plus : la majoration $\left|\int (u_n-u)\right|\le (b-a)\Vert u_n-u{\Vert }_{\infty }$ fait intervenir la longueur de l'intervalle, et elle n'a plus de sens sur un intervalle non borné.

Ce qui est encore possible. La convergence de $(u_n)$ est uniforme sur tout segment $[a,1]$ avec $a>0$ : pour $x\ge a$, $u_n(x)\le n^2(1-a{)}^n\to 0$, majorant indépendant de $x$. Ce n'est donc pas la suite qui est pathologique, c'est le point $0$ — et c'est là que l'intégrale perd sa masse.

Ce que l'exercice installe. L'intégrale ne passe pas à la limite simple, et le contre-exemple est toujours de la même forme : une bosse de plus en plus haute et de plus en plus étroite, qui transporte une aire constante là où la convergence simple ne voit qu'un point. L'uniformité n'est pas une précaution de rédaction, c'est ce qui empêche la fuite — et l'on verra au chapitre sur l'intégration que, sur un intervalle quelconque, c'est l'hypothèse de domination qui joue ce rôle.