La fonction $\zeta$, de bout en bout

La stratégie. C'est le programme fixe de toute étude d'une somme de série de fonctions, et il faut l'exécuter dans cet ordre : domaine et mode de convergence, régularité, limites aux deux bords, équivalents. Le point de méthode central est que l'uniformité se cherche localement, sur des intervalles adaptés : elle est fausse globalement, et elle est toujours inutile globalement, puisque continuité et dérivabilité sont des propriétés locales.

1) Les deux convergences normales. Posons $f_n(x)=n^{-x}=e^{-x\ln n}$, continue sur $\mathbb{R}$ et strictement positive.

Normale sur $[a,+\infty [$, $a>1$. Pour $x\ge a$ et $n\ge 1$, $\ln n\ge 0$ donne $e^{-x\ln n}\le e^{-a\ln n}$, donc $\Vert f_n{\Vert }_{\infty ,[a,+\infty [}=\frac{1}{n^a}$, supremum atteint en $x=a$. Or $\sum n^{-a}$ est une série de Riemann convergente : la convergence est normale sur $[a,+\infty [$, donc uniforme, donc simple. Tout $x>1$ appartenant à $\left[\frac{1+x}{2},+\infty \right[$ avec $\frac{1+x}{2}>1$, la somme $\zeta (x)$ est bien définie sur $]1,+\infty [$.

Pas normale sur $]1,+\infty [$. Cette fois $$\Vert f_n{\Vert }_{\infty ,]1,+\infty [}=\underset{x>1}{\sup }\frac{1}{n^x}=\frac{1}{n},$$ le supremum étant la limite en $x\to 1^{+}$ (non atteinte). Et $\sum \frac{1}{n}$ diverge : il n'y a pas convergence normale sur l'intervalle ouvert tout entier. C'est le prix du bord $x=1$, où la série diverge.

2) La régularité.

Continuité. Chaque $f_n$ est continue sur $[a,+\infty [$ et la convergence y est normale donc uniforme : le théorème de continuité de la somme donne $\zeta$ continue sur $[a,+\infty [$, pour tout $a>1$. La continuité étant une propriété locale et tout point $x>1$ ayant un voisinage contenu dans $\left[\frac{1+x}{2},+\infty \right[$, la fonction $\zeta$ est continue sur $]1,+\infty [$.

Classe ${\mathcal{C}}^1$. On a $f_n^{\prime }(x)=-\ln n\cdot n^{-x}$. Fixons $a>1$ et choisissons $a^{\prime }$ avec $1<a^{\prime }<a$. Pour $x\ge a$, $$\left|f_n^{\prime }(x)\right|\le \frac{\ln n}{n^a}=\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{\ln n}{n^{a-a^{\prime }}}}}\cdot \frac{1}{n^{a^{\prime }}}=O\left(\frac{1}{n^{a^{\prime }}}\right),$$ car $a-a^{\prime }>0$ et le logarithme est négligeable devant toute puissance positive. La série $\sum \frac{1}{n^{a^{\prime }}}$ converge ($a^{\prime }>1$), donc $\sum f_n^{\prime }$ converge normalement sur $[a,+\infty [$. Comme $\sum f_n$ converge simplement, le théorème de dérivation terme à terme s'applique : $\zeta$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,+\infty [$ et ${\zeta }^{\prime }(x)=-{\sum }_{n\ge 1}\frac{\ln n}{n^x}$.

Classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$. Une récurrence immédiate donne $f_n^{(k)}(x)=(-\ln n{)}^k{n}^{-x}$, et la même majoration — $(\ln n{)}^k$ est négligeable devant toute puissance positive de $n$ — montre que $\sum f_n^{(k)}$ converge normalement sur tout $[a,+\infty [$. En appliquant le théorème de dérivation à chaque ordre : $${\zeta }^{(k)}(x)=\sum _{n\ge 1}\frac{(-\ln n{)}^k}{n^x}.$$

3) Le bord $+\infty$.

La limite. La convergence est uniforme sur $[2,+\infty [$ (question 1) et chaque terme a une limite quand $x\to +\infty$ : $f_1(x)=1$ pour tout $x$, donc de limite $1$ ; et $f_n(x)=n^{-x}\to 0$ pour $n\ge 2$. Le théorème de la double limite s'applique et autorise l'échange : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\zeta (x)=\sum _{n\ge 1}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^x}=1+0+0+\cdots =1.$$ (Sans l'uniformité, intervertir une limite et une somme infinie serait un acte de foi ; avec elle, c'est un théorème.)

L'équivalent. Écrivons, pour $x\ge 3$, $$\zeta (x)-1=\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^x}=\frac{1}{2^x}\left(1+\sum _{n\ge 3}{\left(\frac{2}{n}\right)}^x\right).$$ Posons $g_n(x)={\left(\frac{2}{n}\right)}^x$ pour $n\ge 3$. Comme $0<\frac{2}{n}<1$, la fonction $g_n$ est décroissante, donc $\Vert g_n{\Vert }_{\infty ,[3,+\infty [}={\left(\frac{2}{n}\right)}^3=\frac{8}{n^3}$, terme général d'une série convergente : ${\sum }_{n\ge 3}{g}_n$ converge normalement sur $[3,+\infty [$. Chaque $g_n$ tend vers $0$ quand $x\to +\infty$ ; le théorème de la double limite donne donc ${\sum }_{n\ge 3}{g}_n(x)\to 0$. Par conséquent $$2^x\left(\zeta (x)-1\right)=1+\sum _{n\ge 3}{\left(\frac{2}{n}\right)}^x⟶1,\text{c’est-aˋ-dire}\zeta (x)-1\sim \frac{1}{2^x}.$$

4) Le bord $1^{+}$. La fonction $t\mapsto t^{-x}$ est positive, continue et décroissante sur $[1,+\infty [$ pour $x>1$. La comparaison série-intégrale (chapitre 5) donne, d'une part $f_n(n)\ge {\int }_n^{n+1}{t}^{-x}\mathrm{d}t$ d'où, en sommant pour $n\ge 1$, $$\zeta (x)\ge {\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^x}={\left[\frac{t^{1-x}}{1-x}\right]}_1^{+\infty }=\frac{1}{x-1};$$ d'autre part $f_n(n)\le {\int }_{n-1}^n{t}^{-x}\mathrm{d}t$ pour $n\ge 2$, d'où en sommant et en ajoutant le terme $n=1$, qui vaut $1$, $$\zeta (x)\le 1+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^x}=1+\frac{1}{x-1}.$$ Ainsi $$\frac{1}{x-1}\le \zeta (x)\le 1+\frac{1}{x-1}.$$ Quand $x\to 1^{+}$, $\frac{1}{x-1}\to +\infty$ : les deux bornes sont équivalentes à $\frac{1}{x-1}$, donc $$\zeta (x){\sim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{x-1}.$$

5) Monotonie et convexité. Par la question 2 avec $k=1$ et $k=2$ : $${\zeta }^{\prime }(x)=-\sum _{n\ge 1}\frac{\ln n}{n^x}<0,{\zeta }^{\prime \prime }(x)=\sum _{n\ge 1}\frac{(\ln n{)}^2}{n^x}>0.$$ Les deux signes sont stricts : dans la première somme le terme $n=2$ vaut $\frac{\ln 2}{2^x}>0$, et tous les termes sont positifs ou nuls ; dans la seconde, idem. Donc $\zeta$ est strictement décroissante et strictement convexe sur $]1,+\infty [$ — ce qui est cohérent avec les deux bords trouvés : elle descend de $+\infty$ en $1^{+}$ vers $1$ en $+\infty$.

Le point délicat. Chercher la convergence normale sur $]1,+\infty [$ tout entier serait une perte de temps : elle est fausse et elle serait inutile, continuité et dérivabilité étant locales. Le bon réflexe est de se donner un $a>1$ arbitraire et de travailler sur $[a,+\infty [$.

Ce que l'exercice installe. Le programme d'étude d'une somme de série, invariable : convergence normale locale, régularité par les théorèmes de continuité et de dérivation, limites aux bords par la double limite d'un côté et la comparaison série-intégrale de l'autre — le bord où la série converge bien relevant de la première, celui où elle diverge d'un encadrement.