La fonction génératrice de Fibonacci

Rayon : $F_n\le 2^n$ (récurrence immédiate), donc $R\ge \frac{1}{2}>0$ (comparaison). Posons $S(x)={\sum }_{n\ge 0}{F}_n{x}^n$.

Équation : la récurrence donne, pour $|x|<R$ : $$S(x)=x+\sum _{n\ge 2}(F_{n-1}+F_{n-2})x^n=x+x(S(x))+x^{2}S(x),$$ d'où $S(x)\left(1-x-x^2\right)=x$, soit $$\boxed{S(x)=\frac{x}{1-x-x^2}.}$$ Binet : les racines de $1-x-x^2$ sont $\frac{1}{\phi }$ et $\frac{1}{{\phi }^{\prime }}$ ($\phi ,{\phi }^{\prime }$ racines de $X^2=X+1$) ; les éléments simples (première année) donnent $$S(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{1-\phi x}-\frac{1}{1-{\phi }^{\prime }x}\right)=\sum _{n\ge 0}\frac{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}{\sqrt{5}}{x}^n,$$ et l'unicité des coefficients conclut : $F_n=\frac{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}{\sqrt{5}}$ (et au passage $R=\frac{1}{\phi }$). (Une récurrence devient une équation algébrique sur la série génératrice, et l'identification rend la formule close : le mécanisme central des fonctions génératrices — rendez-vous en probabilités.)