Le contre-exemple fondateur

Simple sur $[0,1]$ : $u_n(x)\to 0$ si $x<1$, $u_n(1)=1$ — la limite simple est discontinue en $1$.

Pas uniforme sur $[0,1]$ : les $u_n$ sont continues et la limite ne l'est pas — la contraposée du théorème de continuité conclut sans calcul (ou : ${\sup }_{[0,1[}|x^n|=1\nrightarrow 0$).

Uniforme sur $[0,a]$ : ${\sup }_{[0,a]}|x^n|=a^n\to 0$. Le scénario type : pas d'uniformité globale, uniformité sur tout segment évitant le point à problème — d'où le réflexe des « intervalles adaptés ».