mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Les moments déterminent la fonction

Suites et séries de fonctions, séries entières · A. Suites de fonctions · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ continue sur $[0, 1]$ à valeurs réelles, telle que $\int_{0}^{1} f (t) t^{n} d t = 0$ pour tout $n \in N$ .

1) Montrer que $\int_{0}^{1} f P = 0$ pour tout polynôme $P$ .

2) En invoquant le théorème de Weierstrass, construire une suite $(P_{k})$ de polynômes convergeant uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ , et montrer que $\int_{0}^{1} f P_{k} \to \int_{0}^{1} f^{2}$ .

3) Conclure $\int_{0}^{1} f^{2} = 0$ , puis $f = 0$ . Où la continuité de $f$ est-elle utilisée deux fois ?

4) En déduire que deux fonctions continues sur $[0, 1]$ ayant les mêmes moments sont égales.

5) L'énoncé subsiste-t-il si l'on suppose seulement $f$ continue par morceaux ? Et si l'on ne dispose que des moments impairs $\int_{0}^{1} f (t) t^{2 n + 1} d t = 0$ ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Un théorème de densité transforme « pour tout polynôme » en « pour toute fonction continue ». L'hypothèse ne porte que sur une famille dénombrable de conditions — les moments — et la conclusion est fonctionnelle : c'est le théorème de Weierstrass qui fait ce saut, et le passage à la limite sous l'intégrale, licite sur un segment sous convergence uniforme, qui le rend légitime. (Le programme précise que la démonstration du théorème de Weierstrass n'est pas exigible : on l'utilise, on ne le démontre pas.)

1) De $t^{n}$ à tout polynôme. Soit $P = \sum_{n = 0}^{d} c_{n} X^{n}$ . Par linéarité de l'intégrale — une somme finie, donc aucun théorème d'interversion n'est requis —, $\int_{0}^{1} f (t) P (t) d t = n = 0 \sum d c_{n} \int_{0}^{1} f (t) t^{n} d t = n = 0 \sum d c_{n} \cdot 0 = 0.$

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Weierstrass me donne $(P_{k})$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ . Mais dans $\int_{0}^{1} f P_{k}$ , c'est $(f P_{k})$ qui doit converger uniformément vers $f^{2}$ , et je ne vois pas pourquoi multiplier par $f$ préserve la convergence uniforme.

La question est légitime : tout dépend de la fonction par laquelle on multiplie. Écris l'écart $f P_{k} - f^{2}$ sous forme factorisée : que te faut-il savoir sur $f$ pour le contrôler par $∥ P_{k} - f ∥_{\infty}$ ?

Élève

$∣ f P_{k} - f^{2} ∣ = ∣ f ∣ ∣ P_{k} - f ∣$ . Il faut que $f$ soit bornée, et c'est le cas puisqu'elle est continue sur un segment : l'écart est majoré par $∥ f ∥_{\infty} ∥ P_{k} - f ∥_{\infty}$ .

Oui. Comment passes-tu de cette majoration uniforme à la convergence des intégrales, et que t'apprend alors le 1) sur $\int_{0}^{1} f^{2}$ , compte tenu de la valeur de chaque $\int_{0}^{1} f P_{k}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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