Les nombres de Lucas : série génératrice et formule close

Stratégie. Le mécanisme des fonctions génératrices, en trois temps : (1) montrer que le rayon est non nul, pour avoir le droit de manipuler la somme ; (2) traduire la récurrence linéaire en une équation algébrique sur la somme $S(x)$ ; (3) décomposer en éléments simples et identifier les coefficients — l'unicité du développement en série entière fournit alors la formule close.

Les données. $a_0=2$, $a_1=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ : ce sont les nombres de Lucas, que nous noterons $L_n$ ($2,1,3,4,7,11,18,29,\dots$). Ils vérifient la même récurrence que Fibonacci, avec d'autres conditions initiales.

Étape 1 — le rayon est $>0$. Montrons $0<L_n\le 2^{n+1}$ par récurrence double : c'est vrai pour $n=0$ ($2\le 2$) et $n=1$ ($1\le 4$) ; et si $L_n\le 2^{n+1}$ et $L_{n+1}\le 2^{n+2}$, alors $$L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\le 2^{n+2}+2^{n+1}=3\cdot 2^{n+1}\le 2^{n+3}.$$ Donc $|L_n{x}^n|\le 2(2|x|{)}^n$, suite bornée dès que $|x|<\frac{1}{2}$ : par la caractérisation du rayon, $R\ge \frac{1}{2}>0$. Posons $S(x)={\sum }_{n\ge 0}{L}_n{x}^n$ pour $|x|<R$.

Étape 2 — l'équation. Pour $|x|<R$, on isole les deux premiers termes puis on applique la récurrence : $$S(x)=L_0+L_{1}x+\sum _{n\ge 2}(L_{n-1}+L_{n-2})x^n=2+x+x\sum _{n\ge 2}{L}_{n-1}{x}^{n-1}+x^2\sum _{n\ge 2}{L}_{n-2}{x}^{n-2}.$$ Les deux sommes se réindexent en ${\sum }_{m\ge 1}{L}_m{x}^m=S(x)-L_0=S(x)-2$ et ${\sum }_{m\ge 0}{L}_m{x}^m=S(x)$ (les manipulations sont licites : toutes ces séries convergent absolument pour $|x|<R$). D'où $$S(x)=2+x+x(S(x)-2)+x^{2}S(x)=2-x+(x+x^2)S(x),$$ soit $S(x)(1-x-x^2)=2-x$ et finalement $$\boxed{S(x)=\frac{2-x}{1-x-x^2}.}$$

Étape 3 — éléments simples. Soient $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et ${\phi }^{\prime }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ les racines de $X^2=X+1$, de sorte que $\phi +{\phi }^{\prime }=1$ et $\phi {\phi }^{\prime }=-1$. Alors $$(1-\phi x)(1-{\phi }^{\prime }x)=1-(\phi +{\phi }^{\prime })x+\phi {\phi }^{\prime }{x}^2=1-x-x^2.$$ Cherchons $A,B$ avec $\frac{2-x}{(1-\phi x)(1-{\phi }^{\prime }x)}=\frac{A}{1-\phi x}+\frac{B}{1-{\phi }^{\prime }x}$. En multipliant par $(1-\phi x)$ puis en évaluant en $x=\frac{1}{\phi }$ : $$A=\frac{2-\frac{1}{\phi }}{1-\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }}=\frac{2\phi -1}{\phi -{\phi }^{\prime }}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1,$$ car $2\phi -1=\sqrt{5}$ et $\phi -{\phi }^{\prime }=\sqrt{5}$. Symétriquement $B=\frac{2{\phi }^{\prime }-1}{{\phi }^{\prime }-\phi }=\frac{-\sqrt{5}}{-\sqrt{5}}=1$. Donc $$S(x)=\frac{1}{1-\phi x}+\frac{1}{1-{\phi }^{\prime }x}=\sum _{n\ge 0}{\phi }^n{x}^n+\sum _{n\ge 0}{\phi }^{\prime n}{x}^n=\sum _{n\ge 0}({\phi }^n+{\phi }^{\prime n})x^n,$$ valable pour $|x|<\min \left(\frac{1}{\phi },\frac{1}{|{\phi }^{\prime }|}\right)=\frac{1}{\phi }$ (car $|{\phi }^{\prime }|=\frac{\sqrt{5}-1}{2}<1<\phi$).

Étape 4 — identification. Deux séries entières de rayon non nul qui ont la même somme au voisinage de $0$ ont les mêmes coefficients (unicité des coefficients, chapitre 6). Donc $$\boxed{L_n={\phi }^n+{\phi }^{\prime n}={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n.}$$ Au passage, $L_n\sim {\phi }^n$, donc $\frac{L_{n+1}}{L_n}\to \phi$ et la règle de d'Alembert donne le rayon exact : $R=\frac{1}{\phi }=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618$ — la valeur $R\ge \frac{1}{2}$ de l'étape 1 n'était qu'une minoration de sécurité.

Une conséquence jolie. ${\phi }^{\prime }=-\frac{1}{\phi }$, donc $L_n={\phi }^n+\frac{(-1{)}^n}{{\phi }^n}$ ; comme $\frac{1}{{\phi }^n}<\frac{1}{2}$ dès $n\ge 2$, $L_n$ est l'entier le plus proche de ${\phi }^n$ pour $n\ge 2$. (Comparer à Binet : $F_n=\frac{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}{\sqrt{5}}$, où le $\sqrt{5}$ vient de ce que les conditions initiales de Fibonacci ne sont pas symétriques ; celles de Lucas, elles, donnent $A=B=1$ — c'est ce qui rend la formule si propre.)

Contrôle numérique. Avec $\phi =1,6180339887$ et ${\phi }^{\prime }=-0,6180339887$ :

$n$	$L_n$ (récurrence)	${\phi }^n+{\phi }^{\prime n}$
$10$	$123$	$123,000000$
$20$	$15127$	$15127,000000$
$30$	$1860498$	$1860498,000000$

La série génératrice se vérifie de même : en $x=0,3$, la somme partielle ${\sum }_{n=0}^{39}{L}_n(0,3{)}^n=2,786885245901$ contre $\frac{2-0,3}{1-0,3-0,09}=\frac{1,7}{0,61}=2,786885245902$. Enfin le rayon se laisse voir : en $x=0,5$ (encore $<\frac{1}{\phi }=0,618$) la somme partielle à $40$ termes vaut $5,99891$ pour une valeur exacte $\frac{1,5}{0,25}=6$ — elle converge, plus lentement ; en $x=0,6$, tout près du bord, elle ne donne que $24,52$ pour une valeur exacte $\frac{1,4}{0,04}=35$ ; et pour $x\ge \frac{1}{\phi }$ la série diverge grossièrement, puisque $L_n{x}^n\sim (\phi x{)}^n$ ne tend pas vers $0$.

Acquis. Toute récurrence linéaire à coefficients constants $a_{n+p}=c_1{a}_{n+p-1}+\cdots +c_p{a}_n$ se traite ainsi : $S(x)$ est une fraction rationnelle dont le dénominateur est le polynôme caractéristique retourné $1-c_{1}x-\cdots -c_p{x}^p$, le numérateur encodant les conditions initiales ; les éléments simples redonnent la formule close, et le rayon est l'inverse du module de la plus grande racine caractéristique.