Produit et dérivation de séries entières

Suites et séries de fonctions, séries entières · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Établir, pour $∣ z ∣ < 1$ : $\frac{1}{( 1 - z ) ^{2}} = n = 0 \sum + \infty (n + 1) z^{n}$ , de deux façons.

Corrigé

Produit de Cauchy de $\frac{1}{1 - z} = \sum z^{n}$ par elle-même : $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} 1 = n + 1$ (rayon $\geq 1$ ).

Dérivation terme à terme (variable réelle, puis identité des coefficients) : $\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = (\frac{1}{1 - x})^{'} = \sum_{n \geq 1} n x^{n - 1} = \sum_{n \geq 0} (n + 1) x^{n}$ sur $] - 1, 1 [$ — même rayon, comme l'affirme le cours.

(Au passage : $\sum_{n \geq 1} n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ , la « fonction génératrice » de la suite $(n)$ — l'outil des probabilités à venir.)

Produit et dérivation de séries entières

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables