Rayon de convergence : comparaisons et séries lacunaires

La stratégie. Tout découle d'une seule caractérisation : le rayon est le seuil au-delà duquel la suite $\left(|a_n|r^n\right)$ cesse d'être bornée. C'est une condition très grossière — elle ne voit ni les signes, ni les constantes multiplicatives, ni même les facteurs polynomiaux — et c'est précisément pour cela que les comparaisons marchent.

1) La caractérisation. Le lemme d'Abel dit : si $\left(|a_n|r^n\right)$ est bornée pour un $r>0$, alors $\sum a_n{z}^n$ converge absolument pour $|z|<r$. Réciproquement, si la série converge en un $z$, son terme général tend vers $0$ et $\left(|a_n||z{|}^n\right)$ est bornée. L'ensemble des $r$ admissibles est donc un intervalle contenant $0$, de supremum exactement $R$ : pour $|z|<R$ convergence absolue, pour $|z|>R$ divergence grossière.

2) La comparaison. Supposons $a_n=O(b_n)$ : il existe $M>0$ et $N$ tels que $|a_n|\le M|b_n|$ pour $n\ge N$. Soit $r<R_b$ : alors $\left(|b_n|r^n\right)$ est bornée, disons par $K$, donc pour $n\ge N$ $$|a_n|r^n\le M|b_n|r^n\le MK,$$ et les $N$ premiers termes forment un ensemble fini : $\left(|a_n|r^n\right)$ est bornée, donc $r\le R_a$. Ceci valant pour tout $r<R_b$, on obtient $R_b\le R_a$.

3) Les facteurs polynomiaux ne déplacent pas le rayon. Notons $R^{\prime }$ le rayon de ${\sum }_{n\ge 1}{n}^{\alpha }{a}_n{z}^n$.

$R\le R^{\prime }$. Soit $r<R$ ; choisissons $\rho$ avec $r<\rho <R$. La suite $\left(|a_n|{\rho }^n\right)$ est bornée, par $M$ disons. Alors $$n^{\alpha }|a_n|r^n=n^{\alpha }\left(|a_n|{\rho }^n\right){\left(\frac{r}{\rho }\right)}^n\le M{n}^{\alpha }{\left(\frac{r}{\rho }\right)}^n⟶0,$$ car $\frac{r}{\rho }\in ]0,1[$ et la géométrique écrase la puissance. Une suite convergente est bornée, donc $r\le R^{\prime }$. D'où $R\le R^{\prime }$.

$R^{\prime }\le R$. Appliquons ce qu'on vient d'établir à la suite $\left(n^{\alpha }{a}_n\right)$ avec l'exposant $-\alpha$ : le rayon de $\sum n^{-\alpha }\left(n^{\alpha }{a}_n\right)z^n=\sum a_n{z}^n$ est supérieur ou égal à $R^{\prime }$, c'est-à-dire $R\ge R^{\prime }$.

Donc $R^{\prime }=R$. (Le terme d'indice $0$, retiré ou ajouté, ne change jamais un rayon : il ne modifie la suite qu'en un rang.)

4) La factorielle envoie le rayon à l'infini. Supposons $R>0$ et fixons $\rho$ avec $0<\rho <R$ : la suite $\left(|a_n|{\rho }^n\right)$ est bornée par un $M$. Soit maintenant $r>0$ quelconque. Alors $$\frac{|a_n|}{n!}{r}^n=\left(|a_n|{\rho }^n\right)\cdot \frac{1}{n!}{\left(\frac{r}{\rho }\right)}^n\le \frac{M}{n!}{\left(\frac{r}{\rho }\right)}^n⟶0,$$ puisque $\frac{x^n}{n!}$ est le terme général de la série exponentielle, convergente pour tout $x$. La suite est donc bornée pour tout $r>0$, et le rayon vaut $+\infty$.

5) Deux calculs.

La série $\sum \sin (n)z^n$. D'une part $|\sin n|\le 1=|1|$, donc $\sin n=O(1)$ et, par la question 2, le rayon est au moins celui de $\sum z^n$, qui vaut $1$ : $R\ge 1$.

D'autre part, supposons $R>1$ et prenons $r$ avec $1<r<R$. Alors $\left(|\sin n|r^n\right)$ est bornée par un $M$, donc $|\sin n|\le \frac{M}{r^n}\to 0$, c'est-à-dire $\sin n\to 0$. Montrons que c'est impossible. Si $\sin n\to 0$, alors ${\cos }^{2}n=1-{\sin }^{2}n\to 1$, donc $|\cos n|\to 1$. Or $$\sin (n+1)=\sin n\cos 1+\cos n\sin 1.$$ Le membre de gauche et le premier terme du membre de droite tendent vers $0$, donc $\cos n\sin 1\to 0$, donc $|\cos n|\to 0$ puisque $\sin 1\ne 0$. Contradiction avec $|\cos n|\to 1$. Donc $\sin n\nrightarrow 0$, et $R\le 1$.

Conclusion : $R=1$.

La série lacunaire ${\sum }_{n\ge 0}{z}^{n!}$. Ses coefficients sont $a_k=1$ si $k$ est de la forme $n!$, et $a_k=0$ sinon. La règle de d'Alembert est inapplicable : une infinité de coefficients sont nuls, donc le rapport $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ n'est pas défini. On revient à la définition.

• Pour $|z|<1$ : comme $n!\ge n$ et $|z|<1$, on a $|z{|}^{n!}\le |z{|}^n$, terme général d'une série géométrique convergente. La série converge absolument, donc $R\ge 1$.
• Pour $|z|>1$ : $|z{|}^{n!}\to +\infty$, le terme général ne tend pas vers $0$, la série diverge. Donc $R\le 1$.

Conclusion : $R=1$.

Le point délicat. Le rayon se lit sur la bornitude de $\left(|a_n|r^n\right)$ et sur rien d'autre : multiplier les coefficients par $n^{2026}$ ou par $(-1{)}^n$ ne le change pas, diviser par $n!$ l'envoie à l'infini. Et la règle de d'Alembert, commode, n'est ni générale ni nécessaire : dès que les coefficients s'annulent une infinité de fois, il faut revenir au lemme d'Abel.

Ce que l'exercice installe. Trois réflexes : comparer — une domination entre coefficients donne une inégalité entre rayons ; négliger les puissances — $n^{\alpha }$ ne déplace pas le rayon, $\frac{1}{n!}$ l'envoie à l'infini ; et revenir à la définition devant une série lacunaire.