Unicité des coefficients et zéros isolés

La stratégie. La question 1 est immédiate par les dérivées. La question 3 est d'une tout autre nature : on ne dispose d'aucune information sur un voisinage, seulement sur une suite de points tendant vers $0$. La continuité en $0$ tue alors $a_0$ ; on factorise $x$, ce qui produit une nouvelle série entière de même rayon s'annulant aux mêmes points, et l'on recommence. La récurrence tue tous les coefficients l'un après l'autre.

1) L'unicité élémentaire. Sur son disque ouvert de convergence, une somme de série entière est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et ses coefficients s'expriment par ses dérivées : $$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$$ Si $f$ est nulle sur un voisinage $]-\delta ,\delta [$ de $0$, toutes ses dérivées y sont nulles, donc $f^{(n)}(0)=0$ et $a_n=0$ pour tout $n$.

2) Le lemme de décalage. Par la question 1 de l'exercice 7, $R=\sup \left\{r\ge 0:\left(|a_n|r^n\right)\text{ borneˊe}\right\}$. Fixons $r>0$. La suite ${\left(|a_{n+p}|r^n\right)}_n$ est bornée si et seulement si ${\left(|a_{n+p}|r^{n+p}\right)}_n$ l'est, puisqu'on multiplie par la constante $r^p\ne 0$ ; et cette dernière suite est la suite ${\left(|a_n|r^n\right)}_n$ privée de ses $p$ premiers termes, ce qui ne change pas le caractère borné. Les deux ensembles de $r$ admissibles coïncident donc, et les deux rayons aussi.

3) La récurrence sur les coefficients. Quitte à augmenter $k_0$, supposons $\frac{1}{k_0}<R$, de sorte que tous les points $\frac{1}{k}$ avec $k\ge k_0$ sont dans $]-R,R[$, où $f$ est définie. Posons, pour $p\ge 0$, $$f_p(x)=\sum _{n\ge 0}{a}_{n+p}{x}^n(|x|<R,\text{par le lemme de deˊcalage}),$$ et montrons par récurrence la propriété $$({\mathcal{H}}_p):a_0=\cdots =a_{p-1}=0\text{et}{f}_p\left(\frac{1}{k}\right)=0\text{ pour tout }k\ge k_0.$$

Initialisation. $({\mathcal{H}}_0)$ est exactement l'hypothèse de l'énoncé, la première clause étant vide et $f_0=f$.

Hérédité. Supposons $({\mathcal{H}}_p)$. La somme d'une série entière est continue sur son disque ouvert de convergence — la convergence y est normale sur tout disque fermé de rayon $r<R$. Comme $\frac{1}{k}\to 0$ et que $f_p\left(\frac{1}{k}\right)=0$ pour $k\ge k_0$, la continuité de $f_p$ en $0$ donne $$a_p=f_p(0)=\underset{k\to +\infty }{\lim }{f}_p\left(\frac{1}{k}\right)=0.$$ Ensuite, pour $|x|<R$, en isolant le terme constant, qu'on vient d'annuler : $$f_p(x)=a_p+\sum _{n\ge 1}{a}_{n+p}{x}^n=0+x\sum _{m\ge 0}{a}_{m+p+1}{x}^m=x{f}_{p+1}(x).$$ Pour $k\ge k_0$ : $0=f_p\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{k}{f}_{p+1}\left(\frac{1}{k}\right)$, et $\frac{1}{k}\ne 0$, donc $f_{p+1}\left(\frac{1}{k}\right)=0$. C'est $({\mathcal{H}}_{p+1})$.

Conclusion. Tous les $a_p$ sont nuls, donc $f$ est identiquement nulle — non pas seulement au voisinage de $0$, mais sur $]-R,R[$ tout entier.

4) Les zéros isolés, et l'unicité forte.

Le principe des zéros isolés. Supposons $f\not\equiv 0$ et notons $p$ le plus petit indice tel que $a_p\ne 0$ (la valuation). Pour $|x|<R$, $$f(x)=x^p\left(a_p+\sum _{n\ge 1}{a}_{n+p}{x}^n\right)=x^p\left(a_p+o(1)\right)(x\to 0),$$ la parenthèse tendant vers $a_p\ne 0$ par continuité de $f_p$. Il existe donc $\delta >0$ tel que la parenthèse ne s'annule pas sur $]-\delta ,\delta [$, et alors $f(x)\ne 0$ pour $0<|x|<\delta$ : les zéros d'une somme de série entière non nulle sont isolés autour de $0$. Une suite de zéros non nuls tendant vers $0$ est donc impossible — et $\left(\frac{1}{k}\right)$ en est une, ce qui redonne la question 3.

L'unicité forte. Si deux séries entières de rayons strictement positifs ont des sommes qui coïncident sur une suite de points non nuls tendant vers $0$ — par exemple sur un intervalle $]0,\alpha ]$ —, leur différence est une série entière de rayon strictement positif s'annulant sur cette suite : par la question 3, tous ses coefficients sont nuls, donc $a_n=b_n$. Bien moins qu'un voisinage entier suffit à identifier les coefficients.

5) Une somme paire n'a que des coefficients pairs. Supposons $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in ]-R,R[$. La série entière $\sum a_n(-1{)}^n{x}^n$ a le même rayon $R$ (les modules des coefficients sont inchangés) et pour somme $f(-x)$. Donc les deux séries entières $\sum a_n{x}^n$ et $\sum (-1{)}^n{a}_n{x}^n$ ont la même somme sur $]-R,R[$ : par l'unicité de la question 4, $$a_n=(-1{)}^n{a}_n,\text{c’est-aˋ-dire}{a}_n\left(1-(-1{)}^n\right)=0\text{pour tout }n.$$ Pour $n$ impair, $1-(-1{)}^n=2\ne 0$, donc $a_n=0$. (Le raisonnement symétrique, avec $f(-x)=-f(x)$, annule les coefficients d'indice pair.)

Le point délicat. On pourrait croire qu'après $a_0=0$ il suffit de dériver pour obtenir $a_1=f^{\prime }(0)=0$. C'est faux : rien ne dit que $f^{\prime }\left(\frac{1}{k}\right)=0$, et $f^{\prime }(0)$ n'est pas une limite de valeurs connues. C'est la factorisation par $x$ qui relance la machine — et l'on ne peut factoriser qu'après avoir établi $a_p=0$.

Ce que l'exercice installe. La somme détermine ses coefficients, sous une forme bien plus forte qu'il n'y paraît : il suffit de la connaître sur un ensemble dont $0$ est point d'accumulation. C'est l'outil qui légitime toute identification de coefficients — y compris celle qui donnera, au problème final, la formule des nombres de Catalan.