Ce qui meurt et ce qui survit en dimension supérieure à un

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les définitions du chapitre, le théorème fondamental de l'analyse et l'égalité des accroissements finis pour les fonctions réelles.

a) Rolle est faux. On a $f(0)=(1,0)=f(2\pi )$ : l'hypothèse de Rolle est remplie. La dérivée se calcule coordonnée par coordonnée, $f^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t)$, et $\Vert f^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}=1$ : $f^{\prime }$ ne s'annule nulle part, alors que Rolle garantirait un point intérieur de dérivée nulle. Le théorème est donc faux pour une fonction vectorielle.

Pourquoi il tombe. La démonstration réelle passe par un extremum, et un extremum suppose un ordre sur l'ensemble d'arrivée ; ${\mathbb{R}}^2$ n'en a pas. Ce n'est pas un défaut de démonstration mais un défaut de vérité : le point parcourt le cercle à vitesse constante, revient à son point de départ, et ne s'arrête jamais.

b) L'égalité des accroissements finis est fausse. Sur $[0,\pi ]$, $f(\pi )-f(0)=(-1,0)-(1,0)=(-2,0)$, tandis que $\pi f^{\prime }(c)=\pi (-\sin c,\cos c)$. L'égalité des deux vecteurs imposerait simultanément $\pi \cos c=0$ et $-\pi \sin c=-2$. La première équation force $c=\frac{\pi }{2}$, seul point de $[0,\pi ]$ où le cosinus s'annule ; mais alors $\sin c=1$ et la seconde donnerait $\pi =2$, ce qui est faux. Aucun $c$ ne convient. L'inégalité, elle, passe : $\Vert f(\pi )-f(0)\Vert =2\le \pi =(\pi -0)\sup \Vert f^{\prime }\Vert$, avec de la marge — et cette marge est exactement ce que l'ordre de $\mathbb{R}$ savait supprimer.

c) L'identité fondamentale. Fixons une base $(e_1,\dots ,e_n)$ et écrivons $f={\sum }_i{f}_i{e}_i$ ; $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ si et seulement si chaque $f_i$ l'est, et $f^{\prime }={\sum }_i{f}_i^{\prime }{e}_i$. L'intégrale vectorielle étant définie coordonnée par coordonnée, le théorème fondamental de l'analyse appliqué à chaque $f_i$ donne $${\int }_a^b{f}^{\prime }=\sum _{i=1}^n\left({\int }_a^b{f}_i^{\prime }\right)e_i=\sum _{i=1}^n(f_i(b)-f_i(a))e_i=f(b)-f(a).$$ L'inégalité triangulaire intégrale du cours conclut : $$\Vert f(b)-f(a)\Vert =\Vert {\int }_a^b{f}^{\prime }\Vert \le {\int }_a^b\Vert f^{\prime }(t)\Vert \mathrm{d}t\le (b-a)\underset{[a,b]}{\sup }\Vert f^{\prime }\Vert ,$$ ce $\sup$ étant fini puisque $t\mapsto \Vert f^{\prime }(t)\Vert$ est continue sur un segment.

d) La même inégalité, par projection. Cette seconde voie ne suppose plus $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ : la dérivabilité suffit. Si $f(b)=f(a)$, l'inégalité est évidente. Sinon, posons $u=\frac{f(b)-f(a)}{\Vert f(b)-f(a)\Vert }$, unitaire, et considérons la fonction réelle $\phi (t)=⟨f(t),u⟩$, dérivable de dérivée ${\phi }^{\prime }(t)=⟨f^{\prime }(t),u⟩$ (dérivation d'une application bilinéaire dont le second argument est constant). L'égalité des accroissements finis, licite puisque $\phi$ est à valeurs réelles, fournit $c\in ]a,b[$ avec $\phi (b)-\phi (a)=(b-a){\phi }^{\prime }(c)$. Or $\phi (b)-\phi (a)=⟨f(b)-f(a),u⟩=\Vert f(b)-f(a)\Vert$ par définition de $u$, donc, par Cauchy-Schwarz et $\Vert u\Vert =1$, $$\Vert f(b)-f(a)\Vert =(b-a)⟨f^{\prime }(c),u⟩\le (b-a)\Vert f^{\prime }(c)\Vert \le (b-a)\underset{[a,b]}{\sup }\Vert f^{\prime }\Vert .$$

Le point délicat — le choix de $u$. Une projection quelconque donnerait une inégalité vraie mais inutile : c'est en projetant dans la direction de l'accroissement que le membre de gauche redevient une norme entière. On ne sauve pas l'égalité des accroissements finis, on la récupère sur une coordonnée bien choisie, et l'on perd l'égalité en remontant par Cauchy-Schwarz.

e) Dérivée nulle sur un intervalle. Soient $x<y$ dans $I$. Le segment $[x,y]$ est inclus dans $I$ parce que $I$ est un intervalle — c'est ici, et seulement ici, que l'hypothèse sert. Le d) donne $\Vert f(y)-f(x)\Vert \le (y-x)\cdot 0=0$, donc $f$ est constante. Contre-exemple sur $]0,1[\cup ]2,3[$ : la fonction valant $0_E$ sur le premier morceau et $v\ne 0_E$ sur le second est dérivable de dérivée nulle sans être constante — le segment joignant $\frac{1}{2}$ à $\frac{5}{2}$ sort de l'ensemble de définition.

Ce que l'exercice installe. Un théorème scalaire ne se transporte pas parce qu'il est vrai, mais si sa démonstration se transporte. Rolle et l'égalité des accroissements finis reposent sur l'ordre de $\mathbb{R}$ et tombent tous les deux ; ce qui survit se démontre par intégration ou par projection, les deux gestes de tout le chapitre. Et le corollaire « dérivée nulle sur un intervalle, donc constante », lui, survit intégralement : c'est l'outil qu'on emploiera partout, jusqu'au problème final.