mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 7 · Exercice classique

Contrôle de f' par f'' quand f s'annule aux bords

Fonctions vectorielles · D. Formules de Taylor · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f : [0, 1] \to E$ de classe $C^{2}$ avec $f (0) = f (1) = 0$ et $∥ f^{''} ∥ \leq M$ sur $[0, 1]$ . Montrer que $∥ f^{'} (t) ∥ \leq \frac{M}{2}$ pour tout $t$ (Taylor-Lagrange depuis $t$ vers $0$ et vers $1$ : $t f^{'} (t)$ et $(1 - t) f^{'} (t)$ à un reste près ; sommer : $∥ f^{'} (t) ∥ \leq \frac{M}{2} (t^{2} + (1 - t)^{2}) \leq \frac{M}{2}$ ).

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