Dérivée de l'exponentielle de matrice

Par définition (chapitre 5), $\exp (tA)={\sum }_{k\ge 0}\frac{t^k}{k!}{A}^k$. Chaque coefficient de la matrice $g(t)$ est donc une série entière en $t$ : $g_{ij}(t)={\sum }_k\frac{(A^k{)}_{ij}}{k!}{t}^k$, de rayon infini car $|(A^k{)}_{ij}|\le |||A{|||}^k$ (norme sous-multiplicative, chapitre 4) et $\sum \frac{|||A{|||}^k}{k!}|t{|}^k$ converge partout. Le théorème de dérivation terme à terme des séries entières (chapitre 6) donne $g_{ij}$ de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et, coefficient par coefficient : $$g^{\prime }(t)=\sum _{k\ge 1}\frac{k{t}^{k-1}}{k!}{A}^k=A\sum _{k\ge 1}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}{A}^{k-1}=A\exp (tA),$$ et l'on peut tout aussi bien factoriser $A$ à droite. (Trois chapitres en une formule — norme d'opérateur, exponentielle, séries entières — et la clef des systèmes différentiels $X^{\prime }=AX$ : le chapitre suivant s'ouvre ici.)