Inversibilité de (A) par une dérivée nulle

Stratégie. Au chapitre 5, l'inversibilité de $\exp (A)$ demandait le produit de Cauchy et la formule du binôme. Ici, un seul calcul de dérivée suffit : c'est le gain de méthode qu'apporte la dérivation des fonctions à valeurs matricielles. On montre que $t\mapsto \exp (tA)\exp (-tA)$ a une dérivée identiquement nulle, donc est constante, et on lit sa valeur en $t=0$.

Les deux ingrédients du cours.

• (i) $t\mapsto \exp (tA)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ (et même ${\mathcal{C}}^{\infty }$) sur $\mathbb{R}$, de dérivée $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\exp (tA)=A\exp (tA)=\exp (tA)A.$$ (Chaque coefficient de $\exp (tA)={\sum }_k\frac{t^k}{k!}{A}^k$ est une série entière en $t$ de rayon infini ; on dérive terme à terme, chapitre 6, et on factorise $A$ à gauche ou à droite indifféremment.) On retient surtout : $A$ commute avec $\exp (tA)$.
• (ii) Le produit matriciel $(X,Y)\mapsto XY$ est bilinéaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, espace de dimension finie : la règle de Leibniz s'applique, $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, dans cet ordre (le produit n'est pas commutatif).

Le calcul. Posons $u(t)=\exp (tA)$, $v(t)=\exp (-tA)=\exp (t(-A))$ et $\phi (t)=u(t)v(t)$. Par (i) appliqué à $A$, puis à $-A$ : $$u^{\prime }(t)=Au(t),v^{\prime }(t)=(-A)v(t)=-Av(t).$$ Par (ii) : $${\phi }^{\prime }(t)=u^{\prime }(t)v(t)+u(t)v^{\prime }(t)=Au(t)v(t)-u(t)Av(t).$$ Or, toujours par (i), $u(t)A=Au(t)$ : la matrice $A$ commute avec $\exp (tA)$. Donc le second terme vaut $Au(t)v(t)$, et $${\phi }^{\prime }(t)=Au(t)v(t)-Au(t)v(t)=0.$$

Le point délicat. On n'a pas utilisé une commutation générale entre matrices — elle serait fausse. On a utilisé la commutation particulière $A\exp (tA)=\exp (tA)A$, qui, elle, est un fait démontré (c'est visible sur la série : $A$ commute avec chacune de ses propres puissances). C'est le seul endroit où il faut être attentif ; sans lui les deux termes ne se compensent pas.

Conclusion. ${\phi }^{\prime }$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ ; coefficient par coefficient, ${\phi }_{ij}$ est une fonction réelle de dérivée nulle sur un intervalle, donc constante. Donc $\phi$ est constante, et $$\phi (t)=\phi (0)=\exp (0)\exp (0)=I_n\cdot I_n=I_n.$$ Ainsi $\exp (tA)\exp (-tA)=I_n$ pour tout $t$ ; en échangeant les rôles de $A$ et $-A$ (ce que le raisonnement autorise, il n'a rien supposé sur $A$), on obtient de même $\exp (-tA)\exp (tA)=I_n$. En $t=1$ : $$\boxed{\exp (A)\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})\text{et}(\exp A{)}^{-1}=\exp (-A).}$$

Comparaison avec la voie du chapitre 5. Là-bas on établissait $\exp (X+Y)=\exp (X)\exp (Y)$ pour $XY=YX$ (produit de Cauchy $+$ binôme), puis on l'appliquait à $Y=-X$. Ici on court-circuite : on ne démontre pas le morphisme, on démontre seulement le cas dont on a besoin, et une dérivation suffit. À noter que le résultat est plus fort qu'il n'y paraît : aucune hypothèse sur $A$, qui peut être nilpotente, de déterminant nul, non diagonalisable — l'exponentielle ne sort jamais de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$. C'est cohérent avec $\det (\exp A)=e^{\mathrm{tr}A}>0$.

Contrôle numérique. Avec $A$ tirée au hasard dans ${\mathcal{M}}_5(\mathbb{R})$ :

• commutation (i) : $\Vert A\exp (A)-\exp (A)A\Vert =1,1\cdot 10^{-14}$ ;
• constance de $\phi$ : $\Vert \exp (tA)\exp (-tA)-I_5\Vert$ vaut $0$ en $t=0$, $4,8\cdot 10^{-16}$ en $t=0,3$, $4,6\cdot 10^{-13}$ en $t=1$, $6,4\cdot 10^{-10}$ en $t=2,5$ et $2,5\cdot 10^{-7}$ en $t=-4$ ;
• dérivée numérique centrée de $\phi$ en $t=0,5$ (pas $10^{-6}$) : norme $1,6\cdot 10^{-9}$, nulle à la précision de la différence finie.

Les écarts croissent avec $|t|$ : ce n'est pas un défaut du théorème mais du calcul numérique de $\exp$, dont l'erreur relative se propage en $e^{\Vert tA\Vert }$. La fonction, elle, est bien exactement constante.

Acquis. L'argument « dérivée nulle sur un intervalle, donc constante » est l'outil standard pour établir des identités entre fonctions matricielles ; on le retrouve pour $\det (\exp A)=e^{\mathrm{tr}A}$, pour la constance du wronskien, et il fonde toute la théorie des systèmes différentiels linéaires $X^{\prime }=AX$, dont $t\mapsto \exp (tA)$ est la résolvante.