L'hélice

Les trois coordonnées sont ${\mathcal{C}}^{\infty }$, donc $f$ aussi, et l'on dérive coordonnée par coordonnée : $$f^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t,1),f^{\prime \prime }(t)=(-\cos t,-\sin t,0).$$ La vitesse scalaire vaut $\Vert f^{\prime }(t){\Vert }_2=\sqrt{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t+1}=\sqrt{2}$ : le point monte le long de l'hélice à allure constante. (Noter : $\Vert f^{\prime }\Vert$ constante alors que $f^{\prime }$ ne l'est pas — c'est la direction qui tourne.)