L'inégalité des accroissements finis en action

a) Le rapport de Lipschitz est exactement $\sup \Vert f^{\prime }\Vert$. La fonction $t\mapsto \Vert f^{\prime }(t)\Vert$ est continue sur le segment $[a,b]$, donc $k$ est fini. Pour $x<y$ dans $[a,b]$, l'inégalité des accroissements finis sur $[x,y]$ donne $\Vert f(y)-f(x)\Vert \le (y-x){\sup }_{[x,y]}\Vert f^{\prime }\Vert \le k|y-x|$ : $f$ est $k$-lipschitzienne.

L'optimalité. Si $f$ est $K$-lipschitzienne, alors pour tout $t$ et tout $h\ne 0$ admissible, $$\Vert \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\Vert =\frac{\Vert f(t+h)-f(t)\Vert }{|h|}\le K.$$ Quand $h\to 0$, le taux d'accroissement tend vers $f^{\prime }(t)$ et la norme est continue : on passe à la limite dans l'inégalité et $\Vert f^{\prime }(t)\Vert \le K$, d'où $k\le K$. La meilleure constante de Lipschitz est donc exactement $\sup \Vert f^{\prime }\Vert$ : c'est le seul endroit du chapitre où l'inégalité des accroissements finis est sans perte.

b) La limite de la dérivée gouverne le quotient. Stratégie : retirer la partie linéaire attendue et appliquer l'inégalité des accroissements finis à ce qui reste. La difficulté est logistique : l'estimation $\Vert f^{\prime }-\ell \Vert \le \epsilon$ ne vaut qu'au-delà d'un seuil, donc l'inégalité doit partir de ce seuil, et il reste un terme de bord constant.

Posons $g(t)=f(t)-t\ell$, de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec $g^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)-\ell \to 0_E$ ; montrer $\frac{f(t)}{t}\to \ell$ revient à montrer $\frac{g(t)}{t}\to 0_E$. Soit $\epsilon >0$ ; il existe $A\ge 0$ tel que $\Vert g^{\prime }(s)\Vert \le \epsilon$ pour $s\ge A$. Pour $t\ge A$, l'inégalité des accroissements finis sur $[A,t]$ donne $\Vert g(t)-g(A)\Vert \le (t-A)\epsilon \le t\epsilon$, donc $\Vert g(t)\Vert \le \Vert g(A)\Vert +t\epsilon$, et en divisant par $t>0$ : $$\Vert \frac{f(t)}{t}-\ell \Vert =\frac{\Vert g(t)\Vert }{t}\le \frac{\Vert g(A)\Vert }{t}+\epsilon .$$ Le point $A$ est fixé une fois $\epsilon$ choisi, donc $\Vert g(A)\Vert$ est une constante : pour $t\ge T:=\max (A,\Vert g(A)\Vert /\epsilon )$, l'écart est au plus $2\epsilon$. Comme $\epsilon$ est arbitraire, $\frac{f(t)}{t}\to \ell$.

c) La réciproque est fausse. Avec $E=\mathbb{R}$ et $f(t)=t+\sin t$, on a $\frac{f(t)}{t}=1+\frac{\sin t}{t}\to 1$, alors que $f^{\prime }(t)=1+\cos t$ oscille entre $0$ et $2$ et n'a aucune limite. L'énoncé du b) est une implication stricte : la convergence de $f^{\prime }$ est une hypothèse de travail, pas une caractérisation. On reconnaît le phénomène de l'exercice 6 — $\frac{f(t)}{t}$ est une moyenne déguisée, et moyenner efface l'oscillation.

Ce que l'exercice installe. L'inégalité des accroissements finis transporte une information sur la dérivée en une information sur la fonction, y compris à l'infini : contrôle global (la meilleure constante de Lipschitz est $\sup \Vert f^{\prime }\Vert$) et contrôle asymptotique (version vectorielle du théorème de la limite de la dérivée). Retenir le schéma de preuve « $\epsilon$ d'abord, seuil ensuite, terme de bord constant écrasé par la division » : il reviendra à chaque estimation asymptotique de l'année.