La dérivée de l'inverse d'une matrice

Deux questions à ne pas confondre. Prouver que $t\mapsto M(t{)}^{-1}$ est dérivable n'est pas gratuit et demande de savoir comment les coefficients de l'inverse dépendent de ceux de $M$ ; calculer la dérivée est facile une fois cela acquis. L'erreur classique consiste à dériver $M{M}^{-1}=I_n$ sans avoir justifié qu'on en a le droit.

a) La dérivabilité, par les cofacteurs. Posons $N(t)=M(t{)}^{-1}$. La formule de la comatrice donne $$N(t)=\frac{1}{\det M(t)}{}^t\mathrm{com}(M(t)).$$ Chaque coefficient de $\mathrm{com}(M(t))$ est, au signe près, un mineur d'ordre $n-1$, c'est-à-dire un polynôme en les coefficients $m_{ij}(t)$ ; $\det M(t)$ en est un aussi ; et les $m_{ij}$ sont dérivables par hypothèse. Sommes et produits de fonctions dérivables étant dérivables, numérateur et dénominateur sont dérivables, et $\det M(t)\ne 0$ partout puisque $M(t)$ est inversible. Le quotient est donc dérivable : $N$ est dérivable, et le même argument avec « de classe ${\mathcal{C}}^k$ » donne la seconde affirmation.

b) Le calcul, par Leibniz. Le produit matriciel est bilinéaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\times {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, de dimension finie : la règle de l'exercice 3 s'applique à $t\mapsto M(t)N(t)$, fonction constante égale à $I_n$, donc de dérivée nulle : $$M^{\prime }(t)N(t)+M(t)N^{\prime }(t)=0.$$ Multiplions à gauche par $N(t)$ ; comme $N(t)M(t)=I_n$, il vient $N{M}^{\prime }N+N^{\prime }=0$, c'est-à-dire $$(M^{-1}{)}^{\prime }(t)=-M(t{)}^{-1}{M}^{\prime }(t)M(t{)}^{-1}.$$ (On multiplie à gauche parce que c'est le seul côté où le second terme se simplifie : à droite, $M^{\prime }NN+M{N}^{\prime }N$ ne donne rien.)

c) Le point délicat — l'ordre des facteurs. Le produit matriciel n'est pas commutatif : on ne peut pas regrouper les deux $M^{-1}$ du même côté, et $-(M^{-1}{)}^2{M}^{\prime }$, calqué sur la dimension $1$, n'a aucune raison de valoir $-M^{-1}{M}^{\prime }{M}^{-1}$. Vérifions-le. Pour $M(t)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 2\end{array}\right)$, de déterminant $2$, on a $$M(t{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{t}{2}\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right),M^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),(M^{-1}{)}^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{2}\\ 0& 0\end{array}\right).$$ La formule démontrée donne $M^{-1}{M}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, puis $$-M^{-1}{M}^{\prime }{M}^{-1}=-\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{t}{2}\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{2}\\ 0& 0\end{array}\right):$$ c'est bien la dérivée calculée directement. La formule fautive, elle, donne avec $(M^{-1}{)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{3t}{4}\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$ : $$-(M^{-1}{)}^2{M}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{2}\\ 0& 0\end{array}\right).$$ Elle se trompe d'un facteur $2$ : l'ordre des facteurs n'est pas une coquetterie d'écriture.

Ce que l'exercice installe. Deux gestes de nature différente, à toujours séparer : la dérivabilité se prouve par la structure (les cofacteurs font de $M^{-1}$ une fraction rationnelle à dénominateur non nul), la formule en dérivant une identité et en simplifiant du bon côté. Retenir la formule elle-même : c'est la différentielle de l'inversion, qu'on retrouvera en calcul différentiel sous la forme $-M_0^{-1}H{M}_0^{-1}$, et qui prouve au passage que $X\mapsto X^{-1}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur l'ouvert ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$.