La moyenne temporelle d'un mouvement périodique

La stratégie. On découpe $[0,x]$ en un nombre entier de périodes plus un reste. Sur chaque période l'intégrale vaut la même chose, $J$ ; le reste n'est pas calculable, mais il est borné indépendamment de $x$, et c'est la division par $x$ qui l'écrase. Ce schéma — partie principale exacte, plus reste borné, divisé par une quantité qui explose — est le réflexe de toute moyenne asymptotique.

a) Une période vaut toujours $J$. Pour $k\ge 0$, le changement de variable affine $t=s+kT$ et la $T$-périodicité (qui donne $f(s+kT)=f(s)$, par récurrence immédiate sur $k$) donnent $${\int }_{kT}^{(k+1)T}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{T}f(s+kT)\mathrm{d}s={\int }_0^{T}f=J,$$ puis, par la relation de Chasles, ${\int }_0^{nT}f={\sum }_{k=0}^{n-1}{\int }_{kT}^{(k+1)T}f=nJ$.

La borne. $t\mapsto \Vert f(t)\Vert$ est continue sur le segment $[0,T]$, donc bornée par un réel $M$ ; et tout réel $t$ s'écrit $t=s+kT$ avec $s\in [0,T[$ et $k\in \mathbb{Z}$, d'où $\Vert f(t)\Vert =\Vert f(s)\Vert \le M$. La périodicité transforme une borne sur un segment en une borne sur $\mathbb{R}$ tout entier.

b) La limite, avec sa vitesse. Soit $x>0$ et $n=\lfloor \frac{x}{T}\rfloor$, de sorte que $0\le x-nT<T$. Par Chasles et le a), $${\int }_0^{x}f=nJ+{\int }_{nT}^{x}f,\Vert {\int }_{nT}^{x}f\Vert \le {\int }_{nT}^x\Vert f\Vert \le (x-nT)M\le TM.$$ Donc $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f-\frac{J}{T}=\left(\frac{n}{x}-\frac{1}{T}\right)J+\frac{1}{x}{\int }_{nT}^{x}f$, et comme $$\left|\frac{n}{x}-\frac{1}{T}\right|=\frac{x-nT}{xT}\le \frac{T}{xT}=\frac{1}{x},$$ l'inégalité triangulaire donne $$\Vert \frac{1}{x}{\int }_0^{x}f-\frac{J}{T}\Vert \le \frac{\Vert J\Vert +TM}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }0.$$ La convergence a lieu, et elle est en $O(1/x)$. En mots : la moyenne temporelle d'un mouvement périodique, prise sur un temps long, est sa moyenne sur une période. C'est la version continue du lemme de Cesàro.

c) L'application. La fonction $f(t)=({\cos }^{2}t,\sin t)$ est continue et $2\pi$-périodique, et $${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}t\mathrm{d}t={\int }_0^{2\pi }\frac{1+\cos 2t}{2}\mathrm{d}t=\pi ,{\int }_0^{2\pi }\sin t\mathrm{d}t=[-\cos t{]}_0^{2\pi }=0.$$ Donc $J=(\pi ,0)$ et la moyenne tend vers $\frac{J}{2\pi }=\left(\frac{1}{2},0\right)$ : on retrouve les deux valeurs moyennes classiques, $\frac{1}{2}$ pour le carré du cosinus — la valeur efficace d'un signal sinusoïdal — et $0$ pour le sinus.

Ce que l'exercice installe. Le découpage $x=nT+r$ avec $0\le r<T$, Chasles, périodicité : la technique qu'on retrouvera pour les séries de Fourier et pour toute étude de signal. Et le résultat lui-même — la moyenne temporelle d'un régime périodique est sa moyenne sur une période — s'utilisera en physique sans même être cité.