Le lemme de Gronwall

Ce que l'énoncé a de particulier. L'hypothèse est une inégalité implicite : la fonction inconnue est majorée par une expression qui la contient, sous une intégrale. On ne peut donc pas lire la conclusion, il faut résoudre l'inégalité. La méthode est universelle : nommer le majorant, montrer qu'il vérifie une inéquation différentielle, la résoudre par le facteur intégrant.

a) Le majorant, et l'inéquation différentielle. D'abord, $s\mapsto \Vert f(s)\Vert$ est continue : $f$ l'est, et la norme est $1$-lipschitzienne d'après la seconde inégalité triangulaire. C'est le point à ne pas sauter — sans cette continuité, le théorème suivant ne s'applique pas. Le théorème de dérivation de l'intégrale fonction de sa borne supérieure donne alors $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $g^{\prime }(t)=b\Vert f(t)\Vert$.

L'hypothèse s'écrit exactement $\Vert f(t)\Vert \le g(t)$ ; en multipliant par $b>0$ — c'est ici que le signe de $b$ sert — $$g^{\prime }(t)=b\Vert f(t)\Vert \le bg(t),\text{soit}{g}^{\prime }(t)-bg(t)\le 0.$$ Posons $h(t)=g(t)e^{-bt}$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ : $$h^{\prime }(t)=(g^{\prime }(t)-bg(t))e^{-bt}\le 0,$$ l'exponentielle étant strictement positive. $h$ est décroissante. (Pourquoi $e^{-bt}$ ? Parce que c'est le facteur qui transforme $g^{\prime }-bg$ en une dérivée. On résout une inéquation différentielle linéaire comme on résout l'équation : le facteur intégrant ne sait pas s'il travaille sur une égalité ou une inégalité, du moment qu'on le multiplie par une quantité de signe connu.)