Le lemme de Gronwall

Ce que l'énoncé a de particulier. L'hypothèse est une inégalité implicite : la fonction inconnue est majorée par une expression qui la contient, sous une intégrale. On ne peut donc pas lire la conclusion, il faut résoudre l'inégalité. La méthode est universelle : nommer le majorant, montrer qu'il vérifie une inéquation différentielle, la résoudre par le facteur intégrant.

a) Le majorant, et l'inéquation différentielle. D'abord, $s\mapsto \Vert f(s)\Vert$ est continue : $f$ l'est, et la norme est $1$-lipschitzienne d'après la seconde inégalité triangulaire. C'est le point à ne pas sauter — sans cette continuité, le théorème suivant ne s'applique pas. Le théorème de dérivation de l'intégrale fonction de sa borne supérieure donne alors $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $g^{\prime }(t)=b\Vert f(t)\Vert$.

L'hypothèse s'écrit exactement $\Vert f(t)\Vert \le g(t)$ ; en multipliant par $b>0$ — c'est ici que le signe de $b$ sert — $$g^{\prime }(t)=b\Vert f(t)\Vert \le bg(t),\text{soit}{g}^{\prime }(t)-bg(t)\le 0.$$ Posons $h(t)=g(t)e^{-bt}$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ : $$h^{\prime }(t)=(g^{\prime }(t)-bg(t))e^{-bt}\le 0,$$ l'exponentielle étant strictement positive. $h$ est décroissante. (Pourquoi $e^{-bt}$ ? Parce que c'est le facteur qui transforme $g^{\prime }-bg$ en une dérivée. On résout une inéquation différentielle linéaire comme on résout l'équation : le facteur intégrant ne sait pas s'il travaille sur une égalité ou une inégalité, du moment qu'on le multiplie par une quantité de signe connu.)

b) La conclusion. De $h(t)\le h(0)=a$ on tire $g(t)\le a{e}^{bt}$, puis, l'hypothèse donnant $\Vert f(t)\Vert \le g(t)$ : $$\forall t\in [0,T],\Vert f(t)\Vert \le a{e}^{bt}.$$ La majoration est atteinte. Avec $E=\mathbb{R}$, $a>0$ et $f(t)=a{e}^{bt}$ : $$a+b{\int }_0^{t}a{e}^{bs}\mathrm{d}s=a+a(e^{bt}-1)=a{e}^{bt}=\Vert f(t)\Vert ,$$ l'hypothèse est vérifiée avec égalité, et la conclusion aussi : on ne peut pas faire mieux, la constante comme l'exponentielle sont optimales.

Le cas $a=0$. La conclusion donne $\Vert f(t)\Vert \le 0$, donc $f$ est identiquement nulle. C'est la seule conclusion du lemme qui soit une égalité, et la plus utile : une majoration purement implicite, sans terme constant, force la nullité.

c) L'unicité pour un système linéaire. Posons $z=x-y$ : par linéarité, $z^{\prime }=A(t)z$ et $z(0)=0$. La fonction $z^{\prime }$ est continue, comme produit bilinéaire de $A$ continue et de $z$ continue : $z$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, ce qui autorise l'identité fondamentale de l'exercice 1, $z(t)={\int }_0^{t}A(s)z(s)\mathrm{d}s$. La fonction $s\mapsto \Vert A(s)\Vert$ est continue sur un segment donc bornée : posons $b={\sup }_{[0,T]}\Vert A(s)\Vert$, supposé non nul (sinon $z^{\prime }=0$ et $z$ est constante nulle). La propriété de norme subordonnée $\Vert A(s)z(s)\Vert \le \Vert A(s)\Vert \Vert z(s)\Vert$ et l'inégalité triangulaire intégrale donnent $$\Vert z(t)\Vert \le {\int }_0^t\Vert A(s)z(s)\Vert \mathrm{d}s\le b{\int }_0^t\Vert z(s)\Vert \mathrm{d}s,$$ c'est-à-dire l'hypothèse du lemme avec $a=0$. Donc $z\equiv 0$ et $x=y$. Deux solutions du même système linéaire qui coïncident à l'instant initial coïncident partout : c'est la partie « unicité » du théorème de Cauchy linéaire, obtenue sans rien connaître de la théorie des équations différentielles.

d) La croissance de l'exponentielle, par deux chemins. Par la série. La norme étant continue, la norme de la somme est la limite des normes des sommes partielles, et l'inégalité triangulaire jointe à la sous-multiplicativité $\Vert A^k\Vert \le \Vert A{\Vert }^k$ (récurrence immédiate) donne, pour $t\ge 0$, $$\Vert \exp (tA)\Vert \le \sum _{k\ge 0}\frac{t^k}{k!}\Vert A^k\Vert \le \sum _{k\ge 0}\frac{t^k}{k!}\Vert A{\Vert }^k=e^{t\Vert A\Vert }.$$ Par le lemme. Fixons $v$ et posons $\phi (t)=\exp (tA)v$. Le problème 10 établira que $t\mapsto \exp (tA)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ de dérivée $A\exp (tA)$ ; c'est le seul point emprunté. Alors ${\phi }^{\prime }=A\phi$ et $\phi (0)=v$, donc, comme au c), $\phi (t)=v+{\int }_0^{t}A\phi (s)\mathrm{d}s$ et $\Vert \phi (t)\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert A\Vert {\int }_0^t\Vert \phi (s)\Vert \mathrm{d}s$ : le lemme donne $\Vert \exp (tA)v\Vert \le \Vert v\Vert e^{t\Vert A\Vert }$, et la borne supérieure sur les $v$ de norme $1$ donne $\Vert \exp (tA)\Vert \le e^{t\Vert A\Vert }$. Les deux chemins donnent la même borne avec des moyens différents : le premier connaît la série, le second n'en connaît que l'équation différentielle — et c'est le second qui se généralise aux coefficients variables, où il n'y a aucune série à écrire.

Ce que l'exercice installe. Une inégalité intégrale implicite se résout en dérivant le majorant : $g^{\prime }\le bg$ donne $(g{e}^{-bt}{)}^{\prime }\le 0$. C'est le lemme de Gronwall, l'outil qui donnera au chapitre des équations différentielles l'unicité des solutions d'un problème de Cauchy — et il ne coûte rien de plus que la dérivation d'une primitive. Retenir surtout le cas $a=0$ : pas de terme constant, donc fonction nulle, c'est sous cette forme qu'on l'emploie neuf fois sur dix.