Le wronskien est constant

$W=\det (F_1,F_2)$ où $F_j(t)=(y_j(t),y_j^{\prime }(t))$ est dérivable. La dérivée d'un déterminant se fait colonne par colonne : $$W^{\prime }(t)=\det \left(\begin{array}{cc}{y}_1^{\prime }& y_2\\ y_1^{\prime \prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right)+\det \left(\begin{array}{cc}{y}_1& y_2^{\prime }\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime \prime }\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}{y}_1^{\prime }& y_2\\ -q{y}_1& y_2^{\prime }\end{array}\right)+\det \left(\begin{array}{cc}{y}_1& y_2^{\prime }\\ y_1^{\prime }& -q{y}_2\end{array}\right).$$ En développant : $W^{\prime }=(y_1^{\prime }{y}_2^{\prime }+q{y}_1{y}_2)+(-q{y}_1{y}_2-y_1^{\prime }{y}_2^{\prime })=0$, donc $W$ est constant sur l'intervalle $I$. (Conséquence à venir : deux solutions sont indépendantes si et seulement si $W\ne 0$ en un point — l'outil de structure des équations différentielles linéaires.)