Majorer une intégrale par les accroissements finis

Posons $M={\sup }_{[0,1]}\Vert f^{\prime }\Vert$ (fini : continue sur un compact). L'inégalité des accroissements finis entre $0$ et $t$ donne, puisque $f(0)=0$ : $$\Vert f(t)\Vert =\Vert f(t)-f(0)\Vert \le tM(0\le t\le 1).$$ Puis l'inégalité triangulaire intégrale : $$\Vert {\int }_0^{1}f\Vert \le {\int }_0^1\Vert f(t)\Vert \mathrm{d}t\le M{\int }_0^{1}t\mathrm{d}t=\frac{M}{2}.$$ (Le schéma type du chapitre : IAF pour contrôler $f$ point par point, inégalité triangulaire pour passer à l'intégrale.)